曲线的微分几何

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。

从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。

曲线的理论比曲面理论及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。

定义

设 $n$ 是一个正整数，$r$ 是正整数或 $\mathrm{\infty }$，$I$ 是实数非空区间，$t$ 属于 $I$。一个$C^r$ 类（即 $\gamma$ 为 $r$ 次连续可微）向量值函数

$\mathit{\gamma }:I\to {ℝ}^n$

称为一条 $C^r$ 类参数曲线或曲线 $\gamma$ 的一个 $C^r$ 参数化，$t$ 称为曲线 $\gamma$ 的参数，$\gamma (I)$ 称为曲线的像。将参数曲线 $\gamma$ 和它的像 $\gamma (I)$ 区别开来是非常重要的，因为一个给定的${ℝ}^n$的子集可以是许多不同的参数曲线的像。

可以想象参数 $t$ 代表时间，而曲线 $\gamma (t)$ 作为空间中一个运动粒子轨迹。

如果 I 是闭区间 [a, b]，我们称 γ(a) 为曲线 γ 的起点而 γ(b) 为终点。

如果 $\gamma (a)=\gamma (b)$，我们说 γ 是闭的或是一个环路。进一步，我们称 γ 是一条闭 C^r-曲线，如果 γ^(k)(a) = γ^(k)(b) 对所有 k ≤ r。

如果 $\gamma :(a,b)\to {ℝ}^n$ 为单射，我们称为简单曲线。

如果参数曲线 $\gamma$ 局部可写成幂级数，我们称曲线解析或是 $C^{\omega }$ 类。

记号 -$\gamma$ 表示朝相反的方向运动的曲线。

一条 $C^k$-曲线

$\gamma :[a,b]\to {ℝ}^n$

称为 $m$ 阶正则当且仅当对任何 $t$ 属于$I$

$\{{\gamma }^{\prime }(t),{\gamma }^{″}(t),...,{\gamma }^{(m)}(t)\}\text{, }m\le k$

在 ${ℝ}^n$ 中线性无关。

特别地，一条 $C^1$-曲线 $\gamma$ 是正则的如果

${\gamma }^{\prime }(t)\ne 0$ 对任何 $t\in I.$

重新参数化与等价关系

Template:Seealso 给定一条曲线的像我们可以定义曲线的许多不同的参数化。微分几何旨在描述在一定的参数化下不变的性质。所以我们需在所有参数曲线集合上定义一种合适的等价关系。曲线的微分几何性质（长度，Frenet 标架和广义曲率）在重新参数化下不变从而满足等价类性质。这个等价类称为 C^r 曲线，是曲线的微分几何研究的中心。

两个 C^r 参数曲线

${\mathit{\gamma }}_{\mathrm{𝟏}}:I_1\to R^n$

与

${\mathit{\gamma }}_{\mathrm{𝟐}}:I_2\to R^n$

要称为等价，就要存在一个 C^r 双射

$\varphi :I_1\to I_2$

使得

${\varphi }^{\prime }(t)\ne 0(t\in I_1)$

和

${\mathit{\gamma }}_{\mathrm{𝟐}}(\varphi (t))={\mathit{\gamma }}_{\mathrm{𝟏}}(t)(t\in I_1).$

γ₂ 称为 γ₁ 的重新参数化。这种 γ₁ 的重新参数化在所有参数 C^r 曲线的集合上定义了一种等价关系，其等价类称为 C^r 曲线。

对定向 C^r 曲线，我们可以定义一种“加细”的等价关系，要求 φ 满足 φ'(t) > 0。

等价的 C^r 曲线有相同的像；等价的定向 C^r 曲线有相同的运动方向。

长度与自然参数化

C¹ 曲线 γ : [a, b] → Rⁿ 的长度 l 可以定义为

$l=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\mathit{\gamma }}^{\prime }(t)|dt.$

曲线的长度在重参数化下保持不变，从而是曲线的一个微分几何性质。

对任何正则 C^r （r 至少为 1）曲线 γ: [a, b] → Rⁿ 我们可以定义一个函数

$s(t)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|{\mathit{\gamma }}^{\prime }(x)|dx.$

写成

$\overline{\mathit{\gamma }(s)}=\gamma (t(s))$

这里 t(s) 是 s(t) 的逆函数，我们得到 γ 的一个新参数化 $\overline{\gamma }$，称为自然、弧长或单位速度参数化；参数 s(t) 称为 γ 的自然参数。

我们偏爱这个参数，因为自然参数 s(t) 以单位速度转动 γ 的像，所以

$|\overline{{\mathit{\gamma }}^{\prime }(s(t))}|=1(t\in I).$

在实际中常常很难计算出一条曲线的自然参数，但在理论讨论中很有用。

给定一条参数化曲线 γ(t) 的自然参数化是在差一个参数移动的意义下是惟一的。

数量

$E(\gamma )=\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\mathit{\gamma }}^{\prime }(t){|}^{2}dt$

经常称为曲线的能量或作用量；这个名称是有理由的，因为测地线方程是这个作用量的欧拉-拉格朗日运动方程。

Frenet 标架

空间曲线一点的 Frenet 标架示意图。 T 是单位切向量，P 为单位法向量，B 是次法向量。

一个 Frenet 标架是一个移动的参考标架，由描述曲线在每一点 γ(t) 局部性质的n 个正交向量 e_i(t) 组成。这是微分几何处理曲线的主要工具，因为在这个局部参考系中，远比使用欧几里得那样的整体坐标系更容易和自然地描述局部性质（如曲率、挠率）。

给定 Rⁿ 中一条 n 阶正则 Cⁿ⁺¹-曲线 γ，曲线的 Frenet 标架是一组正交向量

${𝐞}_1(t),\dots ,{𝐞}_n(t)$

称为 Frenet 向量。它们是通过对 γ(t) 的各阶导数使用格拉姆-施密特正交化算法得到的：

${𝐞}_1(t)=\frac{{\mathit{\gamma }}^{\prime }(t)}{\Vert {\mathit{\gamma }}^{\prime }(t)\Vert }$

${𝐞}_j(t)=\frac{\overline{{𝐞}_j}(t)}{\Vert \overline{{𝐞}_j}(t)\Vert }\text{, }\overline{{𝐞}_j}(t)={\mathit{\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}⟨{\mathit{\gamma }}^{(j)}(t),{𝐞}_i(t)⟩{𝐞}_i(t)$

实值函数 χ_i(t) 称为 广义曲率，定义为

${\chi }_i(t)=\frac{⟨{{𝐞}_i}^{\prime }(t),{𝐞}_{i+1}(t)⟩}{\Vert {\mathit{\gamma }}^{\text{'}}(t)\Vert }$

Frenet 标架和广义曲率在重新参数化下是不变的，故它们是曲线的微分几何性质。

特殊 Frenet 向量和广义曲率

最初三个 Frenet 向量和广义曲率可以在三维空间中看到。它们有额外的名字以及与名称相关更多信息。

切向量

如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點 P 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在 P 的切向量。

數學表述為，給定一條曲線 γ = γ(t)，對參數 t 的任何值： t = t₀， 向量：

${\gamma }^{\prime }(t_0)=\frac{d}{dt}\mathit{\gamma }(t),t=t_0$

是點 P = γ(t₀) 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。

切向量的長度：

$\Vert {\mathit{\gamma }}^{\prime }(t_0)\Vert$

是在時間 t₀ 的速率。

第一個 Frenet 向量 e₁(t) 是在同一方向的單位切向量，在 γ 的每個正則點有定義：

${𝐞}_1(t)=\frac{{\mathit{\gamma }}^{\prime }(t)}{\Vert {\mathit{\gamma }}^{\prime }(t)\Vert }.$

如果 t = s 是自然參數則切向量有單位長，從而公式化簡為：

${𝐞}_1(s)={\mathit{\gamma }}^{\prime }(s).$

單位切向量確定了曲線的定向，或隨著參數增長的前進方向。

法向量

法向量，有时也称为曲率向量，表明曲线和一条直线的偏离程度。

法向量定义为

$\overline{{𝐞}_2}(t)={\mathit{\gamma }}^{″}(t)-⟨{\mathit{\gamma }}^{″}(t),{𝐞}_1(t)⟩{𝐞}_1(t).$

其正规形式单位法向量，是 Frenet 向量 e₂(t)，定义为

${𝐞}_2(t)=\frac{\overline{{𝐞}_2}(t)}{\Vert \overline{{𝐞}_2}(t)\Vert }.$

t 点的切向量和法向量张成 t 点的密切平面。

曲率

Template:Main 第一个广义曲率 χ₁(t) 称为曲率，度量了曲线 γ 偏离密切平面上一条直线的程度。定义为

$\kappa (t)={\chi }_1(t)=\frac{⟨{{𝐞}_1}^{\prime }(t),{𝐞}_2(t)⟩}{\Vert {\mathit{\gamma }}^{\text{'}}(t)\Vert }$

称为 γ 在点 t 的曲率。

曲率的倒数

$\frac{1}{\kappa (t)}$

称为曲率半径。

半径为 r 的圆周有常曲率

$\kappa (t)=\frac{1}{r},$

但一条直线的曲率是 0 。

次法向量

次法向量是第三个 Frenet 向量 e₃(t) ， 总是正交于 t 点的单位切向量和单位法向量。其定义为

${𝐞}_3(t)=\frac{\overline{{𝐞}_3}(t)}{\Vert \overline{{𝐞}_3}(t)\Vert }\overline{{𝐞}_3}(t)={\mathit{\gamma }}^{‴}(t)-⟨{\mathit{\gamma }}^{‴}(t),{𝐞}_1(t)⟩{𝐞}_1(t)-⟨{\mathit{\gamma }}^{‴}(t),{𝐞}_2(t)⟩{𝐞}_2(t)$

在 3 维空间中等式简化为

${𝐞}_3(t)={𝐞}_2(t)\times {𝐞}_1(t).$

挠率

第二广义曲率 χ₂(t) 称为挠率，度量了 γ 和一条平面曲线的偏离程度。或者说，如果挠率为 0 则曲线完全在某平面内（任何 t 都在这一个平面内）。

$\tau (t)={\chi }_2(t)=\frac{⟨{{𝐞}_2}^{\prime }(t),{𝐞}_3(t)⟩}{\Vert {\mathit{\gamma }}^{\prime }(t)\Vert }$

称为 γ 在点 t 的挠率。

曲线论主要定理

Template:Main 给定 n 个函数

${\chi }_i\in C^{n-i}([a,b])\text{, }1\le i\le n$

满足

${\chi }_i(t)>0\text{, }1\le i\le n-1$

那么存在惟一的（在差一个欧几里得群作用的意义下） n 阶正则 Cⁿ⁺¹-曲线 γ，具有如下性质

$\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert =1(t\in [a,b])$

${\chi }_i(t)=\frac{⟨{{𝐞}_i}^{\prime }(t),{𝐞}_{i+1}(t)⟩}{\Vert {\mathit{\gamma }}^{\prime }(t)\Vert },$

这里集合

${𝐞}_1(t),\dots ,{𝐞}_n(t)$

是曲面的 Frenet 标架。

再附加起始 t₀ ∈ I，起始点 p₀ ∈ Rⁿ 以及一个初始正交标架 {e₁, ..., e_n-1} 满足

$\mathit{\gamma }(t_0)={𝐩}_0$

${𝐞}_i(t_0)={𝐞}_i\text{, }1\le i\le n-1$

那么我们可以排除欧几里得作用得到惟一的曲线 γ。

Frenet-Serret 公式

Frenet-Serret 公式是一组一阶常微分方程。其解为由广义曲率函数 χ_i 所刻画的曲线的 Frenet 向量组。

2-维

$\left[\begin{array}{c}{{𝐞}_1}^{\prime }(t)\\ {{𝐞}_2}^{\prime }(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& \kappa (t)\\ -\kappa (t)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐞}_1(t)\\ {𝐞}_2(t)\end{array}\right]$

3-维

$\left[\begin{array}{c}{{𝐞}_1}^{\prime }(t)\\ {{𝐞}_2}^{\prime }(t)\\ {{𝐞}_3}^{\prime }(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& \kappa (t)& 0\\ -\kappa (t)& 0& \tau (t)\\ 0& -\tau (t)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐞}_1(t)\\ {𝐞}_2(t)\\ {𝐞}_3(t)\end{array}\right]$

n 维一般公式

$\left[\begin{array}{c}{{𝐞}_1}^{\prime }(t)\\ ⋮\\ {{𝐞}_n}^{\prime }(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& {\chi }_1(t)& & 0\\ -{\chi }_1(t)& \ddots & \ddots & \\ & \ddots & 0& {\chi }_{n-1}(t)\\ 0& & -{\chi }_{n-1}(t)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐞}_1(t)\\ ⋮\\ {𝐞}_n(t)\end{array}\right]$

参考文献

• Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.
• 陈维桓，微分几何，北京大学出版社，北京，2006年，ISBN 7-301-10709.

另见

• Template:Tsl
• 曲线的仿射几何
• 弧
• 切线、切点、次切距
• 密切圆
• 包络线、转迹线
• 四顶点定理
• 测地线
• 等周问题
• 环绕数