克拉克森不等式

數學的克拉克森不等式是L^p空間上的一個結果，用兩個可測函數的L^p範數，來表示它們的和及差的L^p範數的上界。這不等式是平行四邊形恆等式的一個推廣。

不等式敘述

設$(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$是測度空間，$f,g:X\to ℝ$是在$L^p(X)$空間內的可測函數。當$2\le p<+\mathrm{\infty }$時，有

${\Vert \frac{f+g}{2}\Vert }_{L^p}^p+{\Vert \frac{f-g}{2}\Vert }_{L^p}^p\le \frac{1}{2}(\Vert f{\Vert }_{L^p}^p+\Vert g{\Vert }_{L^p}^p)$；

當$1<p<2$時，有

${\Vert \frac{f+g}{2}\Vert }_{L^p}^q+{\Vert \frac{f-g}{2}\Vert }_{L^p}^q\le {(\frac{1}{2}\Vert f{\Vert }_{L^p}^p+\frac{1}{2}\Vert g{\Vert }_{L^p}^p)}^{\frac{q}{p}}$，

其中$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，即$q=\frac{p}{p-1}$。

$p>2$的情形較易證明，可以簡單地用三角不等式和函數

$x\mapsto x^p$

的凸性證出。

外部連結

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