球對稱位勢

Template:NoteTA 球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙交互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學裏，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛丁格方程式表達為

$-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\mathrm{\nabla }}^2\psi +V(r)\psi =E\psi$；

其中，$\hslash$是普朗克常數，$\mu$是粒子的質量，$\psi$是粒子的波函數，$V$是位勢，$r$是徑向距離，$E$是能量。

由於球對稱位勢$V(r)$只與徑向距離有關，與天頂角$\theta$、方位角$\varphi$無關，為了便利分析，可以採用球坐標$(r,\theta ,\varphi )$來表達這問題的薛丁格方程式。然後，使用分離變數法，可以將薛丁格方程式分為兩部分，徑向部分與角部分。

薛丁格方程式

採用球坐標$(r,\theta ,\varphi )$，將拉普拉斯算子${\mathrm{\nabla }}^2$展開：

$-\frac{{\hslash }^2}{2\mu r^2}\{\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{{\sin }^2\theta }[\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}]\}\psi +V(r)\psi =E\psi$。

滿足薛丁格方程式的本徵函數$\psi$的形式為：

$\psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)\mathrm{\Theta }(\theta )\mathrm{\Phi }(\varphi )$，

其中，$R(r)$，$\mathrm{\Theta }(\theta )$，$\mathrm{\Phi }(\varphi )$，都是函數。$\mathrm{\Theta }(\theta )$與$\mathrm{\Phi }(\varphi )$時常會合併為一個函數，稱為球諧函數，$Y_{lm}(\theta ,\varphi )=\mathrm{\Theta }(\theta )\mathrm{\Phi }(\varphi )$。這樣，本徵函數$\psi$的形式變為：

$\psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$。

角部分解答

參數為天頂角$\theta$、方位角$\varphi$的球諧函數$Y_{lm}$，滿足角部分方程式

$-\frac{1}{{\sin }^2\theta }[\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}]Y_{lm}(\theta ,\varphi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$；

其中，非負整數$l$是角動量的角量子數。$m$（滿足$-l\le m\le l$）是角動量對於z-軸的（量子化的）投影。不同的$l$與$m$給予不同的球諧函數解答$Y_{lm}$：

$Y_{lm}(\theta ,\varphi )=(i{)}^{m+|m|}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi }\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}{P}_{lm}(\cos \theta )e^{im\varphi }$；

其中，$i$是虛數單位，$P_{lm}(\cos \theta )$是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

$P_{lm}(x)=(1-x^2{)}^{|m|/2}\frac{d^{|m|}}{d{x}^{|m|}}{P}_l(x)$；

而$P_l(x)$是$l$階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為

$P_l(x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{d^l}{d{x}^l}(x^2-1{)}^l$。

徑向部分解答

將角部分解答代入薛丁格方程式，則可得到一個一維的二階微分方程式：

$\{-\frac{{\hslash }^2}{2\mu r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2\mu r^2}+V(r)\}R(r)=ER(r)$。(1)

設定函數$u(r)=rR(r)$。代入方程式(1)。經過一番繁雜的運算，可以得到

$-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\frac{d^{2}u(r)}{d{r}^2}+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2\mu r^2}u(r)+V(r)u(r)=Eu(r)$。(2)

徑向方程式變為

$-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\frac{d^{2}u(r)}{d{r}^2}+V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(r)u(r)=Eu(r)$；(3)

其中，有效位勢$V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(r)=V(r)+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2\mu r^2}$。

這正是函數為$u(r)$，有效位勢為$V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}$的薛丁格方程式。徑向距離$r$的定義域是從$0$到$\mathrm{\infty }$。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。

為了要更進一步解析方程式(2)，必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。

實例

在這裏，有四個很特別、很重要的實例。這些實例都有一個共同點，那就是，它們的位勢都是球對稱的。因此，它們的角部分解答都是球諧函數。這四個實例是：

1. $V(r)=0$：原方程變為亥姆霍兹方程$({\mathrm{\nabla }}^2+\frac{2\mu E}{{\hslash }^2})A=0$，使用球諧函數為正交歸一基，解析眞空狀況實例。這實例可以做為別的實例的基礎。
2. 當$r<r_0$時，$V(r)=0$；否則，$V(r)=\mathrm{\infty }$：這實例比第一個實例複雜一點，可以描述三維的圓球形盒子中的粒子的量子行為。
3. $V(r)\propto r^2$：研討三維均向性諧振子的實例。在量子力學裏，是少數幾個存在簡單的解析解的量子模型。
4. $V(r)\propto 1/r$：關於類氫原子的束縛態的實例，也有簡單的解析解。

真空狀況實例

思考$V(r)=0$的狀況，設定$k\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\frac{2\mu E}{{\hslash }^2}}$，在設定無因次的變數

$\rho \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}kr$。

代入方程式(2)，定義$J(\rho )\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\rho }R(r)$，就會得到貝塞爾方程式，一個二階常微分方程式：

${\rho }^2\frac{d^{2}J}{d{\rho }^2}+\rho \frac{dJ}{d\rho }+[{\rho }^2-{(l+\frac{1}{2})}^2]J=0$。

貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函數$J_{l+1/2}(\rho )$；而$R(r)$是第一類球貝塞爾函數
（真空解的邊界條件要求原點的函數值有限，因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函數項的係數必須為零）：

$R(r)=j_l(kr)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\pi /(2kr)}{J}_{l+1/2}(kr)$。(4)

在眞空裏，一個粒子的薛丁格方程（即自由空間中的齊次亥姆霍兹方程）的解，以球坐標來表達，是球貝塞爾函數與球諧函數的乘積：

$\psi (r,\theta ,\varphi )=A_{kl}{j}_l(kr)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$；

其中，歸一常數$A_{kl}=\sqrt{\frac{2}{\pi }}k$，$l$是非負整數，$m$是整數，$-l\le m\le l$，$k$是實數，$k\ge 0$。

這些解答都是角動量確定態的波函數。這些確定態都有明確的角動量。

波函數歸一化導引

波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

$1=A_{kl}^2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{r}^2{j}_l^2(kr)dr$。

根據球貝塞爾函數的封閉方程式，

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{j}_{\alpha }(k_{1}x)j_{\alpha }(k_{2}x)dx=\frac{\pi }{2k_1^2}\delta (k_1-k_2)$；

其中，$\alpha >0$，${\delta }_k$为克罗内克δ。

所以，$1=A_{kl}^2\frac{\pi }{2k^2}$。取平方根，歸一常數$A_{kl}=\sqrt{\frac{2}{\pi }}k$。

球對稱的三維無限深方形位勢阱

球貝塞爾函數$j_l(x)$。

思考一個球對稱的無限深方形阱，阱內位勢為0，阱外位勢為無限大。用方程式表達：

$V(r)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }r\le r_0\\ \mathrm{\infty },& \text{if }r>r_0\end{array}$。

其中，$r_0$是球對稱阱的半徑。

立刻，可以察覺，阱外的波函數是0；而由於阱內的薛丁格方程式與真空狀況的薛丁格方程式相同，波函數是球貝塞爾函數$R(r)=j_l(kr)$。為了滿足邊界條件，波函數必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函數，球貝塞爾函數在徑向坐標$r=r_0$之處必須等於0：

$j_l(k{r}_0)=0$。

設定${\xi }_{nl}$為$l$階球貝塞爾函數$j_l$的第$n$個0點，則$k_{nl}{r}_0={\xi }_{nl}$。

那麼，離散的能級$E_{nl}$為

$E_{nl}=\frac{{\hslash }^2{k}_{nl}^2}{2\mu }=\frac{{\hslash }^2{\xi }_{nl}^2}{2\mu r_0^2}$。

薛丁格方程式的整個解答是

${\psi }_{nlm}(r,\theta ,\varphi )=A_{nl}{j}_l({\xi }_{nl}r/r_0)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$；

其中，歸一常數$A_{nl}={\left(\frac{2}{r_0^3}\right)}^{1/2}\frac{1}{j_{l+1}({\xi }_{nl})}$。

波函數歸一化導引

波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

$1=A_{nl}^2\underset{0}{\overset{r_0}{\int }}{r}^2{j}_l^2(k_{nl}r)dr$；

將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式(4)代入積分：

$1=A_{nl}^2\underset{0}{\overset{r_0}{\int }}{r}^2\frac{\pi }{2k_{nl}r}{J}_{l+1/2}^2(k_{nl}r)dr=A_{nl}^2\frac{\pi }{2k_{nl}}\underset{0}{\overset{r_0}{\int }}r{J}_{l+1/2}^2(k_{nl}r)dr$。

設定變數$x=r/r_0$，代入積分：

$1=A_{nl}^2\frac{\pi r_0^2}{2k_{nl}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{J}_{l+1/2}^2(k_{nl}{r}_{0}x)dx=A_{nl}^2\frac{\pi r_0^3}{2{\xi }_{nl}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{J}_{l+1/2}^2({\xi }_{nl}x)dx$。

根據貝塞爾函數的正交歸一性方程式，

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{J}_{\alpha }(x{\xi }_{m\alpha })J_{\alpha }(x{\xi }_{n\alpha })dx=\frac{{\delta }_{mn}}{2}{J}_{\alpha +1}({\xi }_{n\alpha }{)}^2$；

其中，$\alpha >-1$，${\delta }_{mn}$为克罗内克δ，${\xi }_{n\alpha }$表示$J_{\alpha }(x)$的第$n$個0點。

注意到$j_l(x)$的第$n$個0點${\xi }_{nl}$也是$J_{l+1/2}(x)$的第$n$個0點。所以，

$1=A_{nl}^2\frac{\pi r_0^3}{4{\xi }_{nl}}{J}_{l+3/2}^2({\xi }_{nl})=A_{nl}^2\frac{r_0^3}{2}{j}_{l+1}^2({\xi }_{nl})$。

取平方根，歸一常數$A_{nl}={\left(\frac{2}{r_0^3}\right)}^{1/2}\frac{1}{j_{l+1}({\xi }_{nl})}$。

三維均向諧振子

三維均向諧振子的位勢為

$V(r)=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{r}^2$；

其中，$\omega$是角頻率。

用階梯算符的方法，可以證明N維諧振子的能量是

$E_n=\hslash \omega (n+\frac{N}{2})\text{with}n=0,1,\dots ,\mathrm{\infty },$。

所以，三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是

$[-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\frac{d^2}{d{r}^2}+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2\mu r^2}+\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{r}^2-\hslash \omega (n+\frac{3}{2})]u(r)=0$。(5)

設定常數$\gamma$，

$\gamma \equiv \frac{\mu \omega }{\hslash }$。

回想$u(r)=rR(r)$，則徑向薛丁格方程式有一個歸一化的解答：

$R_{nl}(r)=N_{nl}{r}^l{e}^{-\frac{1}{2}\gamma r^2}{L}_{\frac{1}{2}(n-l)}^{(l+\frac{1}{2})}(\gamma r^2)$；

其中，函數$L_k^{(\alpha )}(\gamma r^2)$是广义拉盖尔多项式，$N_{nl}$是歸一化常數：

$N_{nl}={\left[\frac{2^{n+l+2}{\gamma }^{l+\frac{3}{2}}}{{\pi }^{\frac{1}{2}}}\right]}^{\frac{1}{2}}{\left[\frac{[\frac{1}{2}(n-l)]![\frac{1}{2}(n+l)]!}{(n+l+1)!}\right]}^{\frac{1}{2}}$。

本徵能級$E_n$的本徵函數$R_{nl}$，乘以球諧函數$Y_{lm}(\theta ,\varphi )$，就是薛丁格方程式的整個解答：

${\psi }_{nlm}=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$；

其中$l=n,n-2,\dots ,l_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$。假若$n$是偶數，設定$l_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=0$；否則，設定$l_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=1$。

導引

在這導引裏，徑向方程式會被轉換為广义拉盖尔微分方程式。這方程式的解是广义拉盖尔多项式。再將广义拉盖尔多项式歸一化以後，就是所要的答案。

首先，將徑向坐標無因次化，設定變數$y=\sqrt{\gamma }r$；其中，$\gamma \equiv \frac{\mu \omega }{\hslash }$。則方程式(5)變為

$[\frac{d^2}{d{y}^2}-\frac{l(l+1)}{y^2}-y^2+2n-3]v(y)=0$；(6)

其中，$v(y)=u(y/\sqrt{\gamma })$是新的函數。

當$y$接近0時，方程式(6)最顯著的項目是

$[\frac{d^2}{d{y}^2}-\frac{l(l+1)}{y^2}]v(y)=0$。

所以，$v(y)$與$y^{l+1}$成正比。

又當$y$無窮遠時，方程式(6)最顯著的項目是

$[\frac{d^2}{d{y}^2}-y^2]v(y)=0$。

因此，$v(y)$與$e^{-y^2/2}$成正比。

為了除去$v(y)$在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用$v(y)$的替換方程式：

$v(y)=y^{l+1}{e}^{-y^2/2}f(y)$。

經過一番運算，這個替換將微分方程式(6)轉換為

$[\frac{d^2}{d{y}^2}+2(\frac{l+1}{y}-y)\frac{d}{dy}+2n-2l]f(y)=0$。(7)

轉換為广义拉盖尔方程式

設定變數$x=y^2$，則微分算子為

$\frac{d}{dy}=\frac{dx}{dy}\frac{d}{dx}=2y\frac{d}{dx}=2\sqrt{x}\frac{d}{dx}$，

$\frac{d^2}{d{y}^2}=\frac{d}{dy}\left(2y\frac{d}{dx}\right)=4x\frac{d^2}{d{x}^2}+2\frac{d}{dx}$。

代入方程式(7)，就可得到广义拉盖尔方程式：

$x\frac{d^{2}g}{d{x}^2}+((l+\frac{1}{2})+1-x)\frac{dg}{dx}+\frac{1}{2}(n-l)g(x)=0$；

其中，函數$g(x)\equiv f(\sqrt{x})$。

假若，$k\equiv (n-l)/2$是一個非負整數，則广义拉盖尔方程式的解答是广义拉盖尔多项式：

$g(x)=L_k^{(l+\frac{1}{2})}(x)$。

因為$k$是非負整數，要求

1. $n\ge l$。
2. $n$與$l$同時為奇數或同時為偶數。這證明了前面所述$l$必須遵守的條件。

波函數歸一化

回憶到$u(r)=rR(r)$，徑向函數可以表達為

$R_{nl}(r)=N_{nl}{r}^l{e}^{-\frac{1}{2}\gamma r^2}{L}_{\frac{1}{2}(n-l)}^{(l+\frac{1}{2})}(\gamma r^2)$；

其中，$N_{nl}$是歸一常數。

$R_{nl}(r)$的歸一條件是

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{r}^2|R_{nl}(r){|}^{2}dr=1$。

設定$q=\gamma r^2$。將$R_{nl}$與$q$代入積分方程式：

$\frac{N_{nl}^2}{2{\gamma }^{l+\frac{3}{2}}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{q}^{l+\frac{1}{2}}{e}^{-q}{[L_{\frac{1}{2}(n-l)}^{(l+\frac{1}{2})}(q)]}^{2}dq=1$。

應用广义拉盖尔多项式的正交歸一性，這方程式簡化為

$\frac{N_{nl}^2}{2{\gamma }^{l+\frac{3}{2}}}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }[\frac{1}{2}(n+l+1)+1]}{[\frac{1}{2}(n-l)]!}=1$。

因此，歸一常數可以表達為

$N_{nl}=\sqrt{\frac{2{\gamma }^{l+\frac{3}{2}}(\frac{n-l}{2})!}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+l}{2}+\frac{3}{2})}}$。

應用伽瑪函數的數學特性，同時注意$n$與$l$的奇偶性相同，可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函數變為

$\mathrm{\Gamma }[\frac{1}{2}+(\frac{n+l}{2}+1)]=\frac{\sqrt{\pi }(n+l+1)!!}{2^{\frac{n+l}{2}+1}}=\frac{\sqrt{\pi }(n+l+1)!}{2^{n+l+1}[\frac{1}{2}(n+l)]!}$。

在這裏用到了雙階乘 (Template:Lang)的定義。

所以，歸一常數等於

$N_{nl}={\left[\frac{2^{n+l+2}{\gamma }^{l+\frac{3}{2}}[\frac{1}{2}(n-l)]![\frac{1}{2}(n+l)]!}{{\pi }^{\frac{1}{2}}(n+l+1)!}\right]}^{\frac{1}{2}}$。

類氫原子

Template:Main 類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統。兩個物體之間，互相作用的位勢遵守庫侖定律：

$V(r)=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Z{e}^2}{r}$；

其中，${ϵ}_0$是真空電容率，$Z$是原子序，$e$是單位電荷量，$r$是電子離原子核的徑向距離。

將位勢代入方程式(1)，

$\{-\frac{{\hslash }^2}{2\mu r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2\mu r^2}-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Z{e}^2}{r}\}R(r)=ER(r)$。

這方程式的解答是

$R_{nl}(r)=\sqrt{{\left(\frac{2Z}{n{a}_{\mu }}\right)}^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!{]}^3}}{e}^{-Zr/n{a}_{\mu }}{\left(\frac{2Zr}{n{a}_{\mu }}\right)}^l{L}_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{2Zr}{n{a}_{\mu }}\right)$；

其中，$a_{\mu }=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{\mu e^2}$。$a_{\mu }$近似於波耳半徑$a_0$。假若，原子核的質量是無限大的，則$a_{\mu }=a_0$，並且，約化質量等於電子的質量，$\mu =m_e$。$L_{n-l-1}^{2l+1}$是广义拉盖尔多项式，定義為

$L_i^j(x)=(-1{)}^j\frac{d^j}{d{x}^j}{L}_{i+j}(x)$；

其中，$L_{i+j}(x)$是拉盖尔多项式，可用羅德里格公式表示為

$L_i(x)=\frac{e^x}{i!}\frac{d^i}{d{x}^i}(x^i{e}^{-x})$。

為了滿足$R_{nl}(r)$的邊界條件，$n$必須是正值整數，能量也離散為能級$E_n=-\left(\frac{Z^2\mu e^4}{32{\pi }^2{ϵ}_0^2{\hslash }^2}\right)\frac{1}{n^2}=\frac{-13.6Z^2}{n^2}(eV)$。隨著量子數的不同，函數$R_{nl}(r)$與$Y_{lm}$都會有對應的改變。為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係，必須要求$l<n$。

知道徑向函數$R_{nl}(r)$與球諧函數$Y_{lm}$的形式，就可以寫出整個類氫原子量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答：

${\psi }_{nlm}=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$。

導引

為了要簡化薛丁格方程式，設定能量與長度的原子單位 (Template:Lang)

$E_{\text{h}}=m_{\text{e}}{\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash }\right)}^2$，

$a_0=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_{\text{e}}{e}^2}$。

將變數$y=Zr/a_0$與$W=E/(Z^2{E}_{\text{h}})$代入徑向薛丁格方程式(2)：

$[-\frac{1}{2}\frac{d^2}{d{y}^2}+\frac{1}{2}\frac{l(l+1)}{y^2}-\frac{1}{y}]u_l=W{u}_l$。(8)

這方程式有兩類解答：

1. $W<0$：量子態是束縛態，其本徵函數是平方可積函數。量子化的$W$造成了離散的能量譜。
2. $W\ge 0$：量子態是散射態，其本徵函數不是平方可積函數。

這條目只講述第(1)類解答。設定正實數$\alpha \equiv 2\sqrt{-2W}$與$x\equiv \alpha y$。代入方程式(8)：

$[\frac{d^2}{d{x}^2}-\frac{l(l+1)}{x^2}+\frac{2}{\alpha x}-\frac{1}{4}]u_l=0$。(9)

當$x$接近0時，方程式(9)最顯著的項目是

$[\frac{d^2}{d{x}^2}-\frac{l(l+1)}{x^2}]u_l=0$。

所以，$u_l(x)$與$x^{l+1}$成正比。

又當$x$無窮遠時，方程式(9)最顯著的項目是

$[\frac{d^2}{d{x}^2}-\frac{1}{4}]u_l=0$。

因此，$u_l(x)$與$e^{-x/2}$成正比。

為了除去$u_l(x)$在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用$u_l(x)$的替換方程式：

$u_l(x)=x^{l+1}{e}^{-x/2}{f}_l(x)$。

經過一番運算，得到$f_l(x)$的方程式：

$[x\frac{d^2}{d{x}^2}+(2l+2-x)\frac{d}{dx}+(\nu -l-1)]f_l(x)=0$；

其中，$\nu =(-2W{)}^{-\frac{1}{2}}$。

假若，$\nu -l-1$是個非負整數$k$ ，則這方程式的解答是广义拉盖尔多项式

$L_k^{(2l+1)}(x),k=0,1,\dots$。

採用Abramowitz and Stegun的慣例。無因次的能量是

$W=-\frac{1}{2n^2}$；

其中，主量子數$n\equiv k+l+1$滿足$n\ge l+1$，或$l\le n-1$。

由於$\alpha =2/n$，徑向波函數是

$R_{nl}(r)=\sqrt{{\left(\frac{2Z}{n{a}_0}\right)}^3\cdot \frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!{]}^3}}{e}^{-\frac{Zr}{n{a}_0}}{\left(\frac{2Zr}{n{a}_0}\right)}^l{L}_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{2Zr}{n{a}_0}\right)$。

能量是

$E=-\frac{Z^2}{2n^2}{E}_{\text{h}}=-\frac{Z^2}{2n^2}{m}_{\text{e}}{\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash }\right)}^2,n=1,2,\dots$。

參閱

• 自由粒子
• 無限深方形阱
• 有限深方形阱
• 有限位勢壘
• Delta位勢阱
• Delta位勢壘
• 連心力
• 量子穿隧效應
• 盒中氣體

參考文獻

• Template:Cite book