可觀察量

斯特恩-革拉赫實驗儀器，可以將入射的銀原子束，分裂成兩道銀原子束，一道銀原子束的$S_z$為上旋，另一道銀原子束的$S_z$為下旋。在這裏，$S_z$是可觀察量。

在物理學裏，特別是在量子力學裏，處於某種狀態的物理系統，它所具有的一些性質，可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質，稱為可觀察量（Template:Lang）。例如，物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統，然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在經典力學的系統裏，任何可以用實驗測量獲得的可觀察量，都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏，物理系統的狀態稱為量子態，其與可觀察量的關係更加微妙，必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述，量子態可以用存在於希爾伯特空間的態向量來代表，量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。

數學表述

本徵態

假設，物理量$O$是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符$\hat{O}$，可能有很多不同的本徵值$O_i$與對應的本徵態$|e_i⟩$，這些本徵態$|e_i⟩,i=1,2,3,\cdots ,n$，形成了具有正交歸一性的基底：Template:Rp

$⟨e_i|e_j⟩={\delta }_{ij}$；

其中，${\delta }_{ij}$是克羅內克函數。

任何描述這量子系統的量子態$|\psi ⟩$，都可以用這基底的本徵態表示為

$|\psi ⟩=\sum _i{c}_i|e_i⟩$；

其中，$c_i=⟨e_i|\psi ⟩$是複係數，是在量子態$|e_i⟩$裏找到量子態$|\psi ⟩$的機率幅。Template:Rp

假設，量子態$|\psi ⟩$等於這些本徵態之中的一個本徵態$|e_k⟩$，則對於這量子系統，測量可觀察量$O$，得到的結果必定等與本徵值$O_k$，機率為1，量子態$|\psi ⟩$是「確定態」。

統計詮釋

根據統計詮釋，對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是這本徵態。Template:Rp

假設，某量子系統的量子態為

$|\psi ⟩=\sum _i{c}_i|e_i⟩$。

測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符$\hat{O}$的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態$|e_i⟩$，則改變為這本徵態的機率為$p_i=|c_i{|}^2$，測量結果是本徵值$O_i$，得到這本徵值的機率也為$p_i$。在測量之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是本徵態$|e_i⟩$。

將算符$\hat{O}$作用於量子態$|\psi ⟩$，會形成新量子態$|\varphi ⟩$：

$|\varphi ⟩=\hat{O}|\psi ⟩=\sum _i{c}_i\hat{O}|e_i⟩=\sum _i{c}_i{O}_i|e_i⟩$。

從左邊乘以量子態$⟨\psi |$，經過一番運算，可以得到

$⟨\psi |\varphi ⟩=⟨\psi |\hat{O}|\psi ⟩=\sum _i{c}_i{O}_i⟨\psi |e_i⟩=\sum _i|c_i{|}^2{O}_i=\sum _i{p}_i{O}_i$。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和就是可觀察量$O$的期望值：

$⟨O⟩\stackrel{def}{=}⟨\psi |\hat{O}|\psi ⟩=\sum _i{p}_i{O}_i$。

厄米算符

每一種經過測量而得到的物理量都是實數，因此，可觀察量$O$的期望值是實數：

$⟨O⟩=⟨O{⟩}^{*}$。

對於任意量子態$|\psi ⟩$，這關係都成立：

$⟨\psi |\hat{O}|\psi ⟩=⟨\psi |\hat{O}|\psi {⟩}^{*}$。

根據伴隨算符的定義，假設${\hat{O}}^{†}$是$\hat{O}$的伴隨算符，則$⟨\psi |\hat{O}|\psi {⟩}^{*}=⟨\psi |{\hat{O}}^{†}|\psi ⟩$。因此，

$\hat{O}={\hat{O}}^{†}$。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。Template:Rp

不相容可觀察量

假若兩種可觀察量的對易算符不等於0，則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」：Template:Rp

$[\hat{A},\hat{B}]\ne 0$；

其中，$\hat{A}$、$\hat{B}$分別是可觀察量$A$、$B$的算符。

這兩種算符$\hat{A}$與$\hat{B}$絕對不會有共同的基底。一般而言，$\hat{A}$的本徵態與$\hat{B}$的本徵態不同Template:NoteTag假設量子系統的量子態為$|\psi ⟩$。對於算符$\hat{A}$，所有本徵值為$a_i$的本徵態$|{\alpha }_i⟩,i=1,2,3,\cdots ,n$，形成一個基底。量子態$|\psi ⟩$可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

$|\psi ⟩=\sum _i{c}_i|{\alpha }_i⟩$；

其中，$c_i=⟨{\alpha }_i|\psi ⟩$是複係數，是在量子態$|{\alpha }_i⟩$裏找到量子態$|\psi ⟩$的機率幅。Template:Rp

對於算符$\hat{B}$，所有本徵值為$b_i$的本徵態$|{\beta }_i⟩,i=1,2,3,\cdots ,n$，形成了另外一個基底。量子態$|\psi ⟩$可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

$|\psi ⟩=\sum _i{d}_i|{\beta }_i⟩$；

其中，$d_i=⟨{\beta }_i|\psi ⟩$是複係數，是在量子態$|{\beta }_i⟩$裏找到量子態$|\psi ⟩$的機率幅。Template:Rp

對於量子系統的可觀察量$A$做測量，可能得到的結果是各種本徵態$|{\alpha }_i⟩$的本徵值$a_i$，獲得這些不同結果的機會具有機率性，可以表達為機率分佈，結果為$a_i$的機率是$|c_i{|}^2$。

假設測量的結果是本徵值$a_j$，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態$|{\alpha }_j⟩$。假若立刻再測量可觀察量$A$，由於量子態仍舊是本徵態$|{\alpha }_j⟩$，所得到的測量值是本徵值$a_i$機率為1。假若立刻再對本徵態$|{\alpha }_j⟩$測量可觀察量$B$，則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值$b_k$，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態$|{\beta }_k⟩$。

根據不確定性原理，

$\mathrm{\Delta }A\mathrm{\Delta }B\ge \left|\frac{⟨[\hat{A},\hat{B}]⟩}{2i}\right|$。

設定$\chi =\left|\frac{⟨[\hat{A},\hat{B}]⟩}{2i}\right|$。假設，$A$與$B$是兩個不相容可觀察量，則$\chi >0$。而$A$的不確定性與$B$的不確定性的乘積$\mathrm{\Delta }A\mathrm{\Delta }B$，必定大於或等於$\chi$。

實例

為了具體計算位置與動量的期望值，可以將量子態表現於位置空間，以位置空間的波函數來表示，使用對應的代數算符。

位置與動量

位置$x$，動量$p$都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：

$⟨x⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }^{*}x\psi dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x\psi {)}^{*}\psi dx=⟨x{⟩}^{*}$，

$⟨p⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }^{*}\left(\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi \right)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left(\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi \right)}^{*}\psi dx=⟨p{⟩}^{*}$。

角動量

在三維空間裏，角動量算符的x-分量${\hat{L}}_x$是厄米算符。因為

$⟨L_x{⟩}^{*}=⟨y{p}_z-z{p}_y{⟩}^{*}=⟨y{p}_z-z{p}_y⟩=⟨L_x⟩$；

其中，$y$與$z$分別是位置的y-分量與z-分量，$p_y$與$p_z$分別是動量的y-分量與z-分量。

類似地，角動量算符的y-分量${\hat{L}}_y$也是厄米算符。

參閱

• 位置算符
• 動量算符
• 角動量算符
• 哈密頓算符