辛標記

Template:NoteTA 在哈密頓力學裏，因為哈密頓方程式對於廣義坐標 $𝐪$ 與廣義動量 $𝐩$ 的運算在正負號上並不對稱，必須用兩個方程式來表示：

$\dot{𝐪}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝐩}$ ，

$\dot{𝐩}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝐪}$ ；

這裏， $\mathscr{H}$ 是哈密頓量。

辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。辛標記的英文名 「Symplectic notation」 最先是德國著名數學家赫尔曼·外尔提出的。 Symplectic 這字原來在希臘文是糾纏或編結的意思；用在這裏主要是形容廣義坐標和廣義動量互相編結在一起的情況。

設定一個 $2N\times 1$ 的豎矩陣 $\mathit{\xi }$ :

${\mathit{\xi }}^T=[q_1,q_2,q_3,\dots ,q_N,p_1,p_2,p_3,\dots ,p_N]$ ；

此矩陣上半段是廣義坐標、下半段是廣義動量、$T$ 代表轉置運算。我們也可以將 $\mathit{\xi }$ 視為一個向量。

定義辛矩陣 $\mathrm{\Omega }$ 為一個斜對稱的 $2N\times 2N$ 方塊矩陣：

$\mathrm{\Omega }=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{𝟎}& \mathrm{𝟏}\\ -\mathrm{𝟏}& \mathrm{𝟎}\end{array}\right]$ ；

這裏，$\mathrm{\Omega }$ 是由 4 個 $N\times N$ 零矩陣$\mathrm{𝟎}$與單位矩陣$\mathrm{𝟏}$組成。

這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為

$\dot{\mathit{\xi }}=\mathrm{\Omega }\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \mathit{\xi }}$ 。

正則變換

正則變換是一種正則坐標的改變，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。所以，使用正則變換，正則坐標會從舊正則坐標 $\mathit{\xi }$ 改變成新正則坐標 $\mathrm{\Xi }$ ， $\mathit{\xi }\to \mathrm{\Xi }$ ；哈密頓量也從舊的哈密頓量 $\mathscr{H}$ 改變成新的哈密頓量 $𝒦$ ，$\mathscr{H}\to 𝒦$ ；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：

$\dot{\mathrm{\Xi }}=\mathrm{\Omega }\frac{\partial 𝒦}{\partial \mathrm{\Xi }}$ 。

帕松括號

在相空间中，用正則座標 $𝐪,𝐩$ ，两个函数$f(𝐪,𝐩),g(𝐪,𝐩)$ 的泊松括號記作:

$[f,g{]}_{𝐪,𝐩}=\sum _{i=1}^N(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i})$ 。

用辛標記，

$[f,g{]}_{\mathit{\xi }}={\left(\frac{\partial f}{\partial \mathit{\xi }}\right)}^T\mathrm{\Omega }\frac{\partial g}{\partial \mathit{\xi }}$ 。

參閱

• 辛拓撲
• 辛群
• 辛矩陣