罗德里格公式

Template:NoteTA Template:Otheruses 罗德里格公式（Template:Lang-en），舊稱為艾沃里–雅可比公式，是一個關於勒壤得多項式的公式，分別被 Template:Harvs，Template:Harvs及Template:Harvs所獨立發現。在埃爾米特於1865年指出罗德里格是第一個發現的人後，Heine在1878年建議使用「罗德里格公式」此名稱。此名稱亦被用於其它正交多项式的相似公式中。Template:Harvtxt詳述了罗德里格公式的歷史。

敍述

令$\{P_n(x){\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$為一正交多項式序列，並滿足以下條件： $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)w(x)dx=K_n{\delta }_{m,n},$$ 其中$w(x)$ 為權函數，$K_n$為與$n$有關之常數，${\delta }_{m,n}$則是克羅內克δ函數。如果權函數$w(x)$滿足以下微分方程（又稱Pearson微分方程）： $$\frac{w^{\prime }(x)}{w(x)}=\frac{A(x)}{B(x)},$$ 其中$A(x)$ 為次數最高為一的多項式，$B(x)$為次數最高為二的多項式；且以下極限成立： $$\underset{x\to a}{\lim }w(x)B(x)=0,\underset{x\to b}{\lim }w(x)B(x)=0,$$ 那麼我們可以證明$P_n(x)$滿足以下遞迴關係式 $$P_n(x)=\frac{c_n}{w(x)}\frac{d^n}{d{x}^n}[B(x{)}^{n}w(x)],$$ 其中$c_n$為常數。此關係式稱為「罗形公式」或是簡稱為「罗德里格公式」

罗形公式最常見的應用為勒壤得多項式、拉蓋爾多項式和埃爾米特多項式。

對勒壤得多項式$P_n$，罗德里格描述他的公式如下： $$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}[(x^2-1{)}^n].$$

拉蓋爾多項式通常被記為L₀, L₁, ⋯⋯，其罗形公式可被寫為： $$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x}{x}^n\right)=\frac{1}{n!}{(\frac{d}{dx}-1)}^n{x}^n,$$

埃爾米特多項式的罗德里格公式則為： $$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}={(2x-\frac{d}{dx})}^n\cdot 1.$$

其他從史特姆-萊歐維爾方程所得之正交函數序列也有類似的公式，這些公式也被稱為罗德里格公式（或是罗形公式），特別是所得函數為多項式時。

參考資料

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