2的算術平方根

{{#invoke:TemplateVariadicArgumentSingle|build_template |_core_template=Template:Infobox number/core |_core_args=lang |_core_insert_code= | lang$ = {{{lang$|}}} | lang$ symbol = {{{lang$ symbol|}}} }} 2的算術平方根，俗称“根号2”，记作$\sqrt{2}$，可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“$\sqrt{2}$不是有理数”的命题：若一个直角三角形的两个直角边都是1，那么它的斜边长，无法用整数或分数表示。

$\sqrt{2}$其最初65位為

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$\sqrt{2}$是无理数的证明

Template:Anchor 人們發現了许多方法证明$\sqrt{2}$是无理数。以下是反證法的證明

常見的證明

1. 假設$\sqrt{2}$是有理數，即有整數$a_0$、$b_0$，使得$\frac{a_0}{b_0}=\sqrt{2}$
2. 將$\sqrt{2}$重寫成最簡分數$\frac{a}{b}$，即$a$和$b$互質，且${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=2$
3. 所以$\frac{a^2}{b^2}=2$，即$a^2=2b^2$
4. 因為$2b^2$必為偶数，故$a^2$亦是偶数
5. 故$a$為偶数（奇数的平方不會是偶数）
6. 所以必有一整數$k$，使得$a=2k$
7. 將（3）的式子代入（6）：$2b^2={\left(2k\right)}^2$
8. 化简得$b^2=2k^2$
9. 因为$2k^2$是偶数，所以$b^2$是偶数，$b$亦是偶数
10. 所以$a$和$b$都是偶数，跟$\frac{a}{b}$是最簡分數的假設矛盾
11. 因為導出矛盾，所以（1）的假設錯誤，$\sqrt{2}$不是有理數，即是無理數

這個證明可推廣至證明任何非完全平方數的正整數$n$，其算術平方根$\sqrt{n}$為無理數。

另一個證明

另外一個$\sqrt{2}$是無理數的反證法證明較少為人所知，但證明方法也相當漂亮：

1. 假設$\sqrt{2}$是有理數，便可以表示成最簡分數$\frac{m}{n}$，其中$m$, $n$為正整數
2. $\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{2-1}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$
3. 由於$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$，所以$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{2-\frac{m}{n}}{\frac{m}{n}-1}=\frac{2n-m}{m-n}$
4. 因為$\frac{m-n}{n}=\sqrt{2}-1$
5. $2>\sqrt{2}\Rightarrow 1+1>\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{2}-1<1$
6. 所以$m-n<n$
7. 故$\frac{2n-m}{m-n}$是比$\frac{m}{n}$更簡的分數，與$\frac{m}{n}$是最簡分數的假設矛盾

從一個直角邊為$n$，斜邊為$m$的等腰直角三角形，可以用尺規作圖作出直角邊為$m-n$，斜邊為$2n-m$的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。

性质

2的算术平方根可以表示为以下的级数或无穷乘积：

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{(4k+2{)}^2})=(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{36})(1-\frac{1}{100})\cdots$

$\sqrt{2}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k+2{)}^2}{(4k+1)(4k+3)}=\left(\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\right)\left(\frac{6\cdot 6}{5\cdot 7}\right)\left(\frac{10\cdot 10}{9\cdot 11}\right)\left(\frac{14\cdot 14}{13\cdot 15}\right)\cdots$

$\sqrt{2}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{4k+1})(1-\frac{1}{4k+3})=(1+\frac{1}{1})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5})(1-\frac{1}{7})\cdots .$

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{2k}}{(2k)!}.$

$\sqrt{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\cdots .$

$\sqrt{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k+1)!}{(k!{)}^2{2}^{3k+1}}=\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{15}{64}+\frac{35}{256}+\frac{315}{4096}+\frac{693}{16384}+\cdots .$

2的算术平方根的连分数展开式为：

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots }}}}.$

参见

• 3的算術平方根
• 5的算術平方根
• 平方根
• 无理数

外部链接

• $\sqrt{2}$是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強Template:Wayback（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
• 舊題新解 — 根號2是無理數，張海潮 張鎮華Template:Dead link（數學傳播 第 30 卷 第 4 期）