反證法

反证法（Template:Lang-en）又称背理法，是一种论证方式，他首先假设某命题成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

理據

給出命題 $p$ 和命題 $\overline{p}$（非 $p$），根據排中律，兩者之中起碼有一個是真（更強的說法為，除了真和假之外並無其他的情況），所以如果其中一個是假的，另一個就必然是真。給出命題 $q$ 和命題 $\overline{q}$（非 $q$），根據無矛盾律，兩者同時為真的情況為假。給出命題 $\overline{p}$ 和 $r$，根據否定後件律，如果若 $\overline{p}$ 成立時出現 $r$，則 $r$ 為假時 $\overline{p}$ 即為假。反證法在要證明 $p$ 時，透過顯示出若 $\overline{p}$ 成立時出現矛盾（$q$ 和 $\overline{q}$），即 $\overline{p}$ 為假，從而證明 $p$ 為真。

例子

$\sqrt{2}$是无理数的证明（古希腊人）

证明：假设$\sqrt{2}$是有理数，那么可以写成 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$、$q$ 皆為正整數且 $p$、$q$ 互质。那么有

• $p=\sqrt{2}\times q$
• $p^2=2\times q^2$

可得 $p^2$是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以 $p$ 也是偶数。因此可设 $p=2s$，從而 $p^2=4s^2$，代入上式，得：$q^2=2s^2$。所以 $q^2$也是偶數，故可得 $q$ 也是偶数。这样 $p$、$q$ 都是偶数，不互质，这与假设 $p$、$q$ 互质矛盾，假设不成立。因此$\sqrt{2}$为无理数。

其他可用反證法證明的例子

數學上有許多的定理可用反證法來證明，以下是一小部分的例子：

1. 证明有无限多个质数。
2. 任意6人当中，求证或者有3人两两相识，或者有3人互不相识。
3. 现有90张纸，每张纸都写有一个非负整数，已知这90个数之和小于1980，证明至少有三张数目相同的纸。
4. 集合 $S=\{x:0<x<1\}$ 没有最小值。
5. 设 $n$ 是大于1的整数，若所有小于或等于$\sqrt{n}$的质数都不能整除 $n$，则 $n$ 是质数。
6. 已知三角形ABC是锐角三角形，且$\mathrm{\angle }A>\mathrm{\angle }B>\mathrm{\angle }C$。求证：$\mathrm{\angle }B>45^{\circ }$。
7. 已知 $a$、$b$ 为正实数，求证：$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$。
8. 已知 $a$、$b$、$c$、$d$ 是实数，且$ad-bc=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ne 1$。
9. 一個群若同時是交換群和單群，則該群是循環群
10. 若一個循環群是單群，則該群的階為質數
11. 若一個循環群的階為質數，則該群為單群
12. 鴿籠原理

引文

• 英國數學家高德菲·哈羅德·哈代在他的文章《一個數學家的辯白》描述：「歐幾里得最喜歡用的反證法，是數學家最精良的武器。它比起棋手所用的任何戰術還要好：棋手可能需要犧牲一隻兵甚至更多，但數學家卻是犧牲整個棋局來獲得勝利。」

相關條目

• 歸謬法
• 排中律
• 直覺主義邏輯：一種不承認排中律的邏輯系統
• 數學構成主義
• 可反證性

進一步閱讀

• J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6