皮卡德群

数学中，环空间X的皮卡德群，是在X上可逆层（或线丛）的同构类组成群，记作 $P i c (X)$ 。此群的群运算为张量积。这个群的构造理念是构造因数(除子)类群或理想类群的广域(global)版本, 这种构造在代数几何和复流形理论中广泛使用。

此外，皮卡德群也可以定义为层上同调群

H^{1} (X, 𝒪_{X}^{*}) .

对于积分概形, 皮卡德群同构于Cartier 因数的类群。对于复流形，指数层级数能给出对应的皮卡德群的基本信息。

因为皮卡德在代数曲面上的因数的相关研究, 这个群以他命名。

例子

一个戴德金整环的谱的皮卡德群是这个戴尔金整环的理想类群。
如果 $K$ 是一个域，那么其射影空间 $P^{n} (K)$ 上的可逆层是扭转层 $𝒪 (m),$ 所以 $P^{n} (K)$ 的皮卡德群同构于 $ℤ$ 。
在 $K$ 上有两个原点的仿射线的皮卡德群同构于 $ℤ$ 。
$n$ 维复仿射空间的皮卡德群： $Pic (ℂ^{n}) = 0$ 。因为指数序列正好生成了以下上同调的长序列
$\dots \to H^{1} (ℂ^{n}, \underline{ℤ}) \to H^{1} (ℂ^{n}, 𝒪_{ℂ^{n}}) \to H^{1} (ℂ^{n}, 𝒪_{ℂ^{n}}^{⋆}) \to H^{2} (ℂ^{n}, \underline{ℤ}) \to \dots$

并且因为

H^{k} (ℂ^{n}, \underline{ℤ}) ≃ H_{s i n g}^{k} (ℂ^{n}; ℤ)

^[1]

因为

ℂ^{n}

是可收缩的所以我们可以得出

H^{1} (ℂ^{n}, \underline{ℤ}) ≃ H^{2} (ℂ^{n}, \underline{ℤ}) ≃ 0

，那么

H^{1} (ℂ^{n}, 𝒪_{ℂ^{n}}) ≃ H^{1} (ℂ^{n}, 𝒪_{ℂ^{n}}^{⋆})

由Dolbeault-Grothendieck 引理得出以下结论, 可以应用Dolbeault 同构来计算:

H^{1} (ℂ^{n}, 𝒪_{ℂ^{n}}) ≃ H^{1} (ℂ^{n}, Ω_{ℂ^{n}}^{0}) ≃ H_{\bar{\partial}}^{0, 1} (ℂ^{n}) = 0

我们可以在在皮卡德群（的可表示函子版本）上构造概形结构，即皮卡德概形，是代数几何中的重要工具，特别是在阿贝尔簇的对偶理论中。这种方法由Template:Harvard citation text构建，并由Template:Harvard citation text和Template:Harvard citation text描述。