波矢

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $𝐫$ 表示；而其大小則用 $r$ 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，$x^{\mu }$或$x_{\mu }$。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，$(x{)}^2$表示$x$平方；而$x^2$是$x^{\mu }$的第二個分量。

波向量是波的向量表示方法。波向量是一个向量，其大小表示波数（$k=|𝐤|=2\pi /\lambda$），其方向表示波传播的方向。

波向量在狭义相对论背景下可定义为四维矢量。

定义

正弦波波长λ可以通过测量相位相同的任意相邻两点间的距离得到，这两点可以是相邻的波峰、波谷或是如图所示的Template:Link-en。

当波行进时，给定点的值以正弦作正弦振动。

波矢有两种常见的定义，区别在於振幅因子是否乘以$2\pi$，两种定义分别用於物理学和晶体学以及它们的相关领域。

物理学定义

理想的一维行波遵循如下方程：

$\psi (x,t)=A\cos (kx-\omega t+\phi )$

其中：

• x为位置；
• t为时间；
• $\psi$（x和t的函数）是对波进行描述的扰动（例如对於海浪，$\psi$是超出水面的高度；对於声波，$\psi$是超气压）；
• A是波的振幅（振动的峰值）；
• $\phi$是相位偏移，描述了两个波互相之间不同步的程度；
• $\omega$是波的角频率，描述了在一个给定点波振动的快慢程度；
• $k$是波数，与波长成反比，由$k=2\pi /\lambda$求出。

此波在+x方向上行进，相速度为$\omega /k$。

推广到三维情况下，方程为：

$\psi (𝐫,t)=A\cos (𝐤\cdot 𝐫-\omega t+\phi )$

其中：

• r是三维空间中的位置矢量；
• $\cdot$ 是矢量点积；
• k是波矢。

这一方程描述了平面波。一维情况下，波矢的大小是角波数$|𝐤|=2\pi /\lambda$。波矢的方向是平面波行进的方向。

晶体学定义

在晶体学中，描述相同的波的方程略有不同。在一维和三维情况下的方程分别为：

$\psi (x,t)=A\cos (2\pi (kx-\nu t)+\phi )$

$\psi (𝐫,t)=A\cos (2\pi (𝐤\cdot 𝐫-\nu t)+\phi )$。

不同点在於：

• 晶体学定义使用了频率$\nu$，而不是角频率$\omega$，由公式$2\pi \nu =\omega$，二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
• 波数k以及波矢k的定义方式不同。此处的$k=|𝐤|=1/\lambda$，而在物理学定义中，$k=|𝐤|=2\pi /\lambda$。

狭义相对论

接近单色光的波包可以由波矢

$k^{\mu }=(\frac{\omega }{c},\overrightarrow{k})$

准确描述，若明确的改写成共變和反變形式，则

$k^{\mu }=(\frac{\omega }{c},k^1,k^2,k^3)$且

$k_{\mu }=(\frac{\omega }{c},-k_1,-k_2,-k_3)$。

於是波矢的大小为

$k^2=k^{\mu }{k}_{\mu }=k^0{k}_0-k^1{k}_1-k^2{k}_2-k^3{k}_3$

$=\frac{{\omega }^2}{c^2}-{\overrightarrow{k}}^2=0$

最後一步等於零是因为对於真空中的光满足

$k=\frac{\omega }{c}$

洛伦兹变换

对波矢作洛伦兹变换可导出相對論性多普勒效應。洛伦兹矩阵定义为

$\mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{cccc}\gamma & -\beta \gamma & 0& 0\\ -\beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$。

在光被快速移动的波源激发的情况下，若要在地球坐标系（实验室坐标系）中检定光的频率，就要使用洛伦兹变换，如下所示。注意波源位於坐标系S ^s，地球位於观测系S ^obs。 对波矢进行洛伦兹变换得到

$k_s^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{k}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}^{\nu }$。

只考虑$\mu =0$分量的情况，得到

$k_s^0={\mathrm{\Lambda }}_0^0{k}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}^0+{\mathrm{\Lambda }}_1^0{k}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}^1+{\mathrm{\Lambda }}_2^0{k}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}^2+{\mathrm{\Lambda }}_3^0{k}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}^3$。

$\frac{{\omega }_s}{c}$	$=\gamma \frac{{\omega }_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}}{c}-\beta \gamma k_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}^1$
	$=\gamma \frac{{\omega }_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}}{c}-\beta \gamma \frac{{\omega }_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}}{c}\cos \theta$ 其中$\cos \theta$是$k^1$关於$k^0$的方向余弦$k^1=k^0\cos \theta$。

因此

$\frac{{\omega }_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}}{{\omega }_s}=\frac{1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}$

波源远离观测者

当波源径直地远离观测者时，$\theta =\pi$，方程变为：

$\frac{{\omega }_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}}{{\omega }_s}=\frac{1}{\gamma (1+\beta )}=\frac{\sqrt{1-{\beta }^2}}{1+\beta }=\frac{\sqrt{(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }=\frac{\sqrt{1-\beta }}{\sqrt{1+\beta }}$。

波源接近观测者

当波源径直地接近观测者时，$\theta =0$，方程变为：

$\frac{{\omega }_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}}{{\omega }_s}=\frac{\sqrt{1+\beta }}{\sqrt{1-\beta }}$。

参考文献

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