等差数列

Template:NoteTA 等差数列，又名算术数列（Template:Lang-en），是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为公差（Template:Lang）。

例如数列：

Template:Math

就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公差都相等Template:Math。

性质

如果一个等差数列的首项記作 Template:Math，公差記作 Template:Math，那么该等差数列第 Template:Math 项 Template:Math 的一般項为：

$a_n=a_1+(n-1)d$

換句話說，任意一個等差数列 Template:Math都可以寫成

$\{a,a+d,a+2d,\cdots ,a+(n-1)d\}$

在一個等差數列中，給定任意兩相連項 Template:Math 和 Template:Math ，可知公差

$d=a_{n+1}-a_n$

給定任意兩項 Template:Math 和 Template:Math ，則有公差

$d=\frac{a_m-a_n}{m-n}$

此外，在一個等差数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之和，為原來該項的兩倍。舉例來說，Template:Math = Template:Math。

更一般地說，有：

$a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$

證明如下：

$\begin{array}{cc}{a}_{n-1}+a_{n+1}& =[a+(n-2)d]+(a+nd)\\ & =2a+(2n-2)d\\ & =2[a+(n-1)d]\\ & =2a_n\\ \end{array}$

證畢。

從另一個角度看，等差數列中的任意一項，是其前一項和後一項的算術平均：

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

此結果從上面直接可得。

如果有正整數 Template:Math，使得 $m+n=p+q$，那么则有：

$a_m+a_n=a_p+a_q$

證明如下：

$\begin{array}{cc}{a}_m+a_n& =[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d]\\ & =2a+(m+n-2)d\\ & =2a+(p+q-2)d\\ & =[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d]\\ & =a_p+a_q\\ \end{array}$

由此可將上面的性質一般化成：

$a_{n-k}+a_{n+k}=2a_n$

$a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}$

其中 Template:Math 是一個小於 Template:Math 的整數。

給定一個等差數列 $\{a_n\}$，則有：

• $\{b+a_n\}$ 是一個等差數列。
• $\{b\cdot a_n\}$ 是一個等差數列。
• $\{b^{a_n}\}$ 是一個等比數列。
• $\{\frac{b}{a_n}\}$ 是一個等諧數列。

從等差數列的一般項可知，任意一個可以寫成

$a_n=p+qn$

形成的數列，都是一個等差數列，其中公差 Template:Math = Template:Math，首項 Template:Math = Template:Math。

等差數列和

一個等差數列的首 Template:Math 項之和，稱為等差数列和（Template:Lang）或算術級數（Template:Lang），記作 Template:Math。

舉例來說，等差數列 Template:Math的和是 Template:Math = Template:Math。

等差數列求和的公式如下：

$\begin{array}{cc}{S}_n& =\frac{n}{2}(a+a_n)\\ & =\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\\ & =an+d\cdot \frac{n(n-1)}{2}\end{array}$

等差数列和在中文教科書中常表达为:

一个等差数列的和，等于其首项与末项的和，乘以项数除以2。

公式證明如下：

将等差數列和写作以下两种形式：

$S_n=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]$

$S_n=[a_n-(n-1)d]+[a_n-(n-2)d]+\dots +(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n$

将两公式相加来消掉公差 Template:Math，可得

$2S_n=n(a+a_n)$

整理可得第一種形式。

代入 $a_n=a+(n-1)d$，可得第二種及第三種形式。

從上面的第三種形式展開可見，任意一個可以寫成

$S_n=pn+q{n}^2$

形成的數列和，其原來數列都是一個等差數列，其中公差 Template:Math = Template:Math，首項 Template:Math = Template:Math。

等差数列积

一個等差數列的首 Template:Math 項之積，稱為等差数列積（Template:Lang），記作 Template:Math。

舉例來說，等差數列 Template:Math的積是 Template:Math = Template:Math。

等差数列積的公式较為复杂，須以Γ函數表示：

$P_n=d^n\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{a}{d}+n)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{a}{d})}$

證明如下：

$\begin{array}{cc}{P}_n& =a\cdot (a+d)\cdot (a+2d)\cdot \cdots \cdot [a+(n-1)d]\\ & =d^n\cdot \left(\frac{a}{d}\right)\cdot (\frac{a}{d}+1)\cdot (\frac{a}{d}+2)\cdot \cdots \cdot [\frac{a}{d}+(n-1)]\\ & =d^n\cdot {\left(\frac{a}{d}\right)}^{\bar{n}}\\ & =d^n\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{a}{d}+n)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{a}{d})}\\ \end{array}$

這裡的 $x^{\bar{n}}$ 为 Template:Math 的 Template:Math 次上升阶乘幂，例子如 $1.1^{\bar{3}}=1.1\times 2.1\times 3.1$ 。

使用上面的例子，對於數列 Template:Math：

$\begin{array}{cc}{P}_4& =2^4\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+4)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})}\\ & =16\cdot \frac{11.6317\dots }{1.77245\dots }\\ & =105\end{array}$

結果相等。

参见

• 序列
• 數列
• 級數
• 算術平均
• 等比數列
• 等諧數列

参考文献

• Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. -{R|https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/}- Template:Wayback.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. -{R|http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html}- Template:Wayback.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. -{R|http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html}- Template:Wayback.