階加

在数学中，正整数的阶加（Template:Lang-en）是所有小于及等于该数的正整数的和，计为Template:Math。例如：

$5?=5+4+3+2+1=15.$

根据空和的惯例，Template:Math的值为Template:Math。

该术语是由高德纳在《计算机程序设计艺术》中创造的。它是从Template:Math到Template:Math的整数的积的階乘函数的加法模拟。他用它来说明域从正整数到实数的扩展。

正整数的阶加也称为三角形數。最初的几个Template:OEIS是

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

历史

18世纪以来，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）和其他一些数学家一直试图将阶乘函数的域扩展到实数甚至复数，并最终提出了Γ函数。1997年，高德纳在他的《计算机程序设计艺术》引入了阶加函数Template:Math，作为阶乘的加法模拟，以便说明域扩展的含义。

定义

阶加函数由和定义

$n?=1+2+3+\cdots +(n-2)+(n-1)+n,$

最初整数Template:Math。这可以用求和符号表示为

$n?=\sum _{i=1}^{n}i.$

从这些公式，可以得出遞迴關係式

$n?=n+(n-1)?.$

例如：

$\begin{array}{cc}5?& =5+4?\\ 6?& =6+5?\\ 50?& =50+49?\end{array}$

可以使用等差数列的求和公式来计算阶加函数：

$n?=\frac{n(n+1)}{2}.$

例如：$100?=\frac{100\times 101}{2}=5050$

零的阶加

为了将递推关系扩展到Template:Math，有必要定义

$0?=0$

所以

$1?=1+0?=1.$

非整数的阶加

非整数值的阶加函数也可以使用公式$n?=\frac{n(n+1)}{2}$。

例如：$(\frac{1}{2})?=\frac{3}{8}$

应用领域

阶加在数学中不常使用，但它仍然在一些领域应用，如组合数学。

• 对于Template:Math个不同的元素，組合Template:Math个元素的方法数量等于Template:Math。这就是说

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})=(n-1)?.$

• 在玩4個4时，阶加可以是找到所需表达式的有用工具，尤其是在规则不允许使用小數點和平方根的情况下（这是因为数字Template:Math和Template:Math是不可用的）。例如：

$13=4?+4-4÷4$

$18=4!+4?-4\times 4$

阶加的和和函数

双阶加

类似于双阶乘，所有奇数直到某个正奇整数Template:Mvar的和称为Template:Mvar的双阶加，和表示为Template:Math。定义为

$(2k-1)??=\sum _{i=1}^k(2i-1)=1+3+5+\cdots +(2k-3)+(2k-1).$

例如：$9??=1+3+5+7+9=25$.

Template:Math的双阶加是平方数序列。它开始为

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...Template:OEIS

质数阶加

质数阶加可以作为質數階乘的一个类似物，表示为Template:Math。它被定义为小于或等于Template:Math的质数之和，即

$n\mathrm{\S }=p_{\pi (n)}\mathrm{\S }=\sum _{i=1}^{\pi (n)}{p}_i,$

$\pi (n)$是素数计数函数。

例如：$11\mathrm{\S }=p_5\mathrm{\S }=2+3+5+7+11=28$

前几个结果是

0, 2, 5, 10, 17, 28, 41,...Template:OEIS

倒数阶加

倒数阶加定义为前n个正整数的倒数之和。它等于第n个調和數。

$\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=H_n.$

例如：$\sum _{i=1}^3\frac{1}{i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}.$

参见

• 三角形數
• 求和符号
• 階乘
• 階冪