階冪

在數學中，正整数的階冪（Template:Lang-en）是所有小於及等於該數的正整數的冪，記作 Template:Math ，例如：

$4\mathrm{\$}=4^{3^{2^1}}=262144$。

階冪是階加和階乘在冪運算上的類比。

前几项的階冪数为

1 , 2 , 9 , 262144 , ... Template:OEIS

階冪的增長率比階乘，甚至過級階乘還要快。到了5的階冪，已經是 $5\mathrm{\$}=5^{262144}\approx 6.206069878660874\times 10^{183230}$。

定義

一般地說，對於正整數 n，

$n\mathrm{\$}=n_{}^{(n-1{)}^{{(n-2)}^{.{}^{.{}^{.{}^{3^{2^1}}}}}}}$

從上述公式中，可以推導出遞歸關係：

$\{\begin{array}{cc}1\mathrm{\$}& =1\\ n\mathrm{\$}& =n^{(n-1)\mathrm{\$}}\end{array}$。

遞迴關係在階冪函數中任意正整數 n 皆成立，例如：

$\begin{array}{cc}5\mathrm{\$}& =5^{4\mathrm{\$}}\\ 6\mathrm{\$}& =6^{5\mathrm{\$}}\\ 50\mathrm{\$}& =50^{49\mathrm{\$}}\end{array}$

非正整數的擴展

階冪原始的定義只在正整數上。不同於階乘，階冪的定義域從正整數推廣到實數和複數的過程中，遇到了困難。

與疊代冪次相似，由於冪塔高度為 0 的數值並沒有一個廣為接受的良好定義， $0\mathrm{\$}$ 並未定義。階冪亦不像階乘般，存在如伽瑪函數一樣的函數，作為其對實數以至複數的擴展。

變化

雙階冪

類比於雙階乘，能夠為正整數 n 定義雙階冪（double expofactorial）。

當 $n$ 是單數，$n\mathrm{\$}\mathrm{\$}=n_{}^{(n-2{)}^{{(n-4)}^{.{}^{.{}^{.{}^{5^{3^1}}}}}}}$ 。

當 $n$ 是雙數，$n\mathrm{\$}\mathrm{\$}=n_{}^{(n-2{)}^{{(n-4)}^{.{}^{.{}^{.{}^{6^{4^2}}}}}}}$ 。

多重階冪

雙階冪能進一步推廣為多重階冪（multiple expofactorial）。 $n{\mathrm{\$}}_{(m)}$被称为 n 的 m 重階冪，定义为

$n{\mathrm{\$}}_{(m)}=\{\begin{array}{cccc}& 1& & \text{if }0\le n<m\\ & n^{(n-m){\mathrm{\$}}_{(m)}}& & \text{if }n\ge m\end{array}$。

例如， $7{\mathrm{\$}}_{(3)}=7^{4^1}=2401$。

超級階冪

類比於由尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義的超級階乘，我們能定義超級階冪（superexpofactorial）為首 n 個階冪的疊冪，記作$\mathrm{se}(n)$。

$\mathrm{se}(n)=n{\mathrm{\$}}_{}^{(n-1){\mathrm{\$}}^{{(n-2)\mathrm{\$}}^{.{}^{.{}^{.{}^{{3\mathrm{\$}}^{{2\mathrm{\$}}^{1\mathrm{\$}}}}}}}}}$

例如， $\mathrm{se}(3)={(3^{2^1})}^{(2^1{)}^1}=81$

前幾個超級階冪為

1 , 2 , 81, ...

第四个超級階冪值約為$7.975\times 10^{438}$。

過級階冪

過級階冪（hyperexpofactorial）寫作 $\mathrm{he}(n)$ ，其定義為

$\mathrm{he}(n)={{}^{n}n}_{}^{{{}^{n-1}(n-1)}^{{{}^{n-2}(n-2)}^{.{}^{.{}^{.{}^{{{}^{3}3}^{{{}^{2}2}^{{}^{1}1}}}}}}}}$，

其中 ${}^{b}a$ 表示疊代冪次。

例如， $\mathrm{he}(3)={(3^{3^3})}^{(2^2{)}^1}$

前幾項的過級階冪為

1 , 4 , 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, ...

第四个過級階冪值約為$10^{10^{205.43}}$。

倒數階冪

倒數階冪（reciprocal expofactorial）是指所有小於及等於該數的正整數之倒數的疊冪：

${\frac{1}{n}}_{}^{(\frac{1}{n-1}{)}^{({\frac{1}{n-2})}^{.{}^{.{}^{.{}^{{(\frac{1}{3})}^{{(\frac{1}{2})}^1}}}}}}}$。

階冪的和及積

首 n 個階冪的和為

$\sum _{k=1}^{n}k\mathrm{\$}=1\mathrm{\$}+2\mathrm{\$}+3\mathrm{\$}+\cdots +n\mathrm{\$}$。

首 n 個階冪的積為

$\prod _{k=1}^{n}k\mathrm{\$}=1\mathrm{\$}\times 2\mathrm{\$}\times 3\mathrm{\$}\times \cdots \times n\mathrm{\$}$。

以上兩個數值的增長率，要比階冪本身還要快。

首 n 個階冪倒數的和為

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k\mathrm{\$}}=1+\frac{1}{2\mathrm{\$}}+\frac{1}{3\mathrm{\$}}+\cdots +\frac{1}{n\mathrm{\$}}$。

當 n 趨向無窮大，其值收斂於 $1.6111149258083767361111...$。Template:OEIS

參見

• 階加
• 階乘

參考文獻

• Clifford A. Pickover (1995), Keys to Infinity, Wiley.
• Jonathan Sondow, "Exponential Factorial Template:Wayback" From Mathworld, a Wolfram Web resource
• Sloane, N. J. A., Sequences A049384 and A080219, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.