弗罗比尼乌斯内积

Template:Unreferenced Template:Expand english 在数学中，弗罗比尼乌斯内积（Template:Lang-en）是一种基于两个矩阵的二元运算，结果是一个数值。它常常被记为$⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}$。这个运算是一個將矩陣視為向量的逐元素内积。参与运算的两个矩阵必须有相同的维度、行数和列数，但不局限于方阵。

定义

给定两个n×m维複矩阵 A和B：

$𝐀=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1m}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nm}\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1m}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{n1}& B_{n2}& \cdots & B_{nm}\end{array}\right)$

弗罗比尼乌斯内积定义为如下的矩阵元素求和

$⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}=\sum _{i,j}\overline{A_{ij}}{B}_{ij}=\mathrm{t}\mathrm{r}\left(\overline{{𝐀}^T}𝐁\right)$

其中上划线表示复数和複矩阵的共轭操作。若將定義詳細寫出，則有

$\begin{array}{cc}⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}=& {\bar{A}}_{11}{B}_{11}+{\bar{A}}_{12}{B}_{12}+\cdots +{\bar{A}}_{1m}{B}_{1m}\\ & +{\bar{A}}_{21}{B}_{21}+{\bar{A}}_{22}{B}_{22}+\cdots +{\bar{A}}_{2m}{B}_{2m}\\ & ⋮\\ & +{\bar{A}}_{n1}{B}_{n1}+{\bar{A}}_{n2}{B}_{n2}+\cdots +{\bar{A}}_{nm}{B}_{nm}\\ \end{array}$

此計算與點積十分相似，所以是一個內積的範例。

性质

弗罗比尼乌斯内积是半双线性形式。给定複矩阵A, B, C, D, 以及复数a和b，我们有

$⟨a𝐀,b𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}=\bar{a}b⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}$

$⟨𝐀+𝐂,𝐁+𝐃{⟩}_{\mathrm{F}}=⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}+⟨𝐀,𝐃{⟩}_{\mathrm{F}}+⟨𝐂,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}+⟨𝐂,𝐃{⟩}_{\mathrm{F}}$

并且，交换複矩阵的次序所得到的是原来结果的共轭矩阵：

$⟨𝐁,𝐀{⟩}_{\mathrm{F}}=\overline{⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}}$

对于相同的矩阵，有

$⟨𝐀,𝐀{⟩}_{\mathrm{F}}\ge 0.$

样例

实矩阵

给定实矩阵：

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 6\\ 1& -1& 2\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{ccc}8& -3& 2\\ 4& 1& -5\end{array}\right)$

则：

$\begin{array}{cc}⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}& =2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\ & =16+12+4-1-10\\ & =21\end{array}$

複矩阵

给定複矩阵

$𝐀=\left(\begin{array}{cc}1+i& -2i\\ 3& -5\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{cc}-2& 3i\\ 4-3i& 6\end{array}\right)$

那么它们的共轭 (非转置) 矩阵为

$\overline{𝐀}=\left(\begin{array}{cc}1-i& +2i\\ 3& -5\end{array}\right),\overline{𝐁}=\left(\begin{array}{cc}-2& -3i\\ 4+3i& 6\end{array}\right)$

因此，

$\begin{array}{cc}⟨𝐀,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}& =(1-i)\cdot (-2)+(+2i)\cdot 3i+3\cdot (4-3i)+(-5)\cdot 6\\ & =(-2+2i)+-6+12-9i+-30\\ & =-26-7i\end{array}$

但注意

$\begin{array}{cc}⟨𝐁,𝐀{⟩}_{\mathrm{F}}& =(-2)\cdot (1+i)+(-3i)\cdot (-2i)+(4+3i)\cdot 3+6\cdot (-5)\\ & =-26+7i\end{array}$

A、B与其本身的弗罗比尼乌斯内积分别为

$⟨𝐀,𝐀{⟩}_{\mathrm{F}}=2+4+9+25=40$

$⟨𝐁,𝐁{⟩}_{\mathrm{F}}=4+9+25+36=74$

弗罗比尼乌斯范数

从弗罗比尼乌斯内积我们可以诱导出弗罗比尼乌斯范数

$\Vert 𝐀{\Vert }_{\mathrm{F}}=\sqrt{⟨𝐀,𝐀{⟩}_{\mathrm{F}}}.$

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