最小相位

最小相位（minimum-phase）是控制理论及信號處理中有特殊性質的系統，對於线性时不变系统，若本身為因果系统且穩定，且其逆系統也是穩定的因果系统，此系統即為最小相位系統。

相反的，非最小相位（non-minimum phase）系統可以用最小相位系統串接Template:Le，使部份的零點移到右半面。若有零點在右半面，表示其逆系統不穩定。全通濾波器加入了「額外的相位」（有些可能是传送迟延），這也是為何所得系統稱為非最小相位的原因。

例如一個離散系統，其有理傳遞函數若其所有的極點都在單位圓內，此系統為符合因果性的穩定系統。不過此系統的零點可以在單位圓內或是圓外的任意位置。若離散系統的零點也都在單位圓內，則這個系統也是最小相位的系統。以下會說明為何這様的系統會稱為最小相位系統。

逆系統

一系統$ℍ$可逆的條件是可以由其輸出找到唯一對應的輸入，也就是可以找到系統${ℍ}_{inv}$使得若將$ℍ$及${ℍ}_{inv}$二個系統連接，可以得到單位系統$𝕀$（可以參反矩陣）。

${ℍ}_{inv}ℍ=𝕀$

假設$\tilde{x}$為系統$ℍ$的輸入，其輸出為$\tilde{y}$

$ℍ\tilde{x}=\tilde{y}$

將$\tilde{y}$作為逆系統的輸入，可得：

${ℍ}_{inv}\tilde{y}={ℍ}_{inv}ℍ\tilde{x}=𝕀\tilde{x}=\tilde{x}$

因此可以用逆系統${ℍ}_{inv}$，找到輸出$\tilde{y}$對應的唯一輸入$\tilde{x}$。

離散時間的例子

假設系統$ℍ$是離散時間的線性非時變系統（LTI），可以用冲激响应$h(n)$（n為整數）表示。而且，假設系統${ℍ}_{inv}$的 冲激响应為$h_{inv}(n)$。二個線性非時變系統的級聯為卷積。上述的關係可以以下式表示：

$(h*h_{inv})(n)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(k)h_{inv}(n-k)=\delta (n)$

其中$\delta (n)$為克罗内克函数或是離散時間下的單位矩陣。注意其逆系統${ℍ}_{inv}$不一定要是唯一的。

最小相位系統

若系統再加上因果性且穩定性的條件時，其逆系統就是唯一的，而且系統$ℍ$和逆系統${ℍ}_{inv}$都是最小相位系統。離散系統下因果性及穩定性的條件如下（針對非時變系統，其中的h為系統的沖激響應）：

因果性

$h(n)=0\mathrm{\forall }n<0$

及

$h_{inv}(n)=0\mathrm{\forall }n<0$

穩定性

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h(n)|=\Vert h{\Vert }_1<\mathrm{\infty }$

及

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h_{inv}(n)|=\Vert h_{inv}{\Vert }_1<\mathrm{\infty }$

在有界輸入有界輸出穩定性條目會看到對應連續系統的條件。

頻域分析

離散時間系統的頻域分析

將最小相位應用在離散時間系統中可以看出一些其中的特性，其時域方程式如下。

$(h*h_{inv})(n)=\delta (n)$

進行Z轉換後可以得到以下的關係。

$H(z)H_{inv}(z)=1$

由於上述關係，可得

$H_{inv}(z)=\frac{1}{H(z)}$

為了簡單起見，只考慮有理传递函数 H (z)。因果性及穩定性表示所有的H (z)极点都需要嚴格的在单位圆內（參照有界輸入有界輸出穩定性）。假設

$H(z)=\frac{A(z)}{D(z)}$

其中A (z)及D (z)是z的多項式。因果性及穩定性會使得D (z)的零点（根）需要嚴格的在单位圆內（不能在邊界上）。而

$H_{inv}(z)=\frac{D(z)}{A(z)}$

因此$H_{inv}(z)$的因果性及穩定性也會使得為A (z)的零点需要嚴格的在单位圆內，上述二個條件下，最小相位系統的零點及極點都需要在嚴格的在单位圆內。

連續時間系統的頻域分析

連續時間系統的分析和離散系統類似，不過會使用拉普拉斯变换，其時域的方程式如下。

$(h*h_{inv})(t)=\delta (t)$

其中$\delta (t)$為狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是連續時間下的恒等算子，因為其和任意信號x (t)都會有篩選性質。

$\delta (t)*x(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (t-\tau )x(\tau )d\tau =x(t)$

進行拉普拉斯变换可得到以下S平面的關係。

$H(s)H_{inv}(s)=1$

也可以得到下式

$H_{inv}(s)=\frac{1}{H(s)}$

為簡化起見，此處也只考慮有理传递函数H(s)。因果性及穩定性表示H (s)的所有极点都要嚴格的在左半S平面（參考有界輸入有界輸出穩定性）。假設

$H(s)=\frac{A(s)}{D(s)}$

其中A (s)及D (s)是s的多項式。$H(s)$的因果性及穩定性表示D (s)的所有零點都在左半S平面內，而

$H_{inv}(s)=\frac{D(s)}{A(s)}$

$H(s)$的因果性及穩定性表示A (s)的所有零點都在左半S平面內，因此最小相位系統的最有極點及零點都需要嚴格的在左半S平面內。

增益響應及相位響應的關係

不論是連續時間或是離散時間的最小相位系統，都有一個常會用到的性質：增益頻率響應的自然對數（增益的對數單位為奈培，和分貝成正比），和頻率響應的相角（單位為弧度）有關，兩者的關係是希爾伯特轉換。在連續時間系統下，令

$H(j\omega )\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}H(s){|}_{s=j\omega }$

是系統H(s)的複數頻率響應。在最小相位系統下，系統H(s)的相位響應和增益響應的關係為

$\arg [H(j\omega )]=-\mathscr{H}\{\log (|H(j\omega )|)\}$

以及

$\log (|H(j\omega )|)=\log (|H(j\mathrm{\infty })|)+\mathscr{H}\{\arg [H(j\omega )]\}$.

若用較精簡的方式表示，令

$H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg [H(j\omega )]}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{e}^{\alpha (\omega )}{e}^{j\varphi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\varphi (\omega )}$

其中$\alpha (\omega )$和$\varphi (\omega )$都是實數下的實函數，則

$\varphi (\omega )=-\mathscr{H}\{\alpha (\omega )\}$

及

$\alpha (\omega )=\alpha (\mathrm{\infty })+\mathscr{H}\{\varphi (\omega )\}$.

希爾伯特轉換算子定義為

$\mathscr{H}\{x(t)\}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\hat{x}(t)=\frac{1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x(\tau )}{t-\tau }d\tau$ .

在離散時間系統中也有等效的對應關係。

時域下的最小相位

針對所有有相同增益响应的因果穩定系統，最小相位系統的能量最集中在冲激响应的開始處，也就是說最小相位系統最小化了以下的函數（可以視為是冲激响应能量的延遲）。

$\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{|h(n)|}^2\mathrm{\forall }m\in {\mathbb{Z}}^{+}$

最小相位及最小群延遲

在所有增益响应相同的因果穩定系統中，最小相位系統的群延遲最小。以下證明可以說明為何該系統有最小的群延遲。

假設考慮传递函数$H(z)$中的一個零点 $a$，先讓零点$a$在单位圆內（$\left|a\right|<1$），看對群延遲的影響。

$a=\left|a\right|e^{i{\theta }_a}\text{ where }{\theta }_a=\text{Arg}(a)$

因為零点 $a$ 在传递函数中貢獻了$1-a{z}^{-1}$的因子，因此其對相位的貢獻如下：

${\varphi }_a\left(\omega \right)=\text{Arg}(1-a{e}^{-i\omega })$

$=\text{Arg}(1-\left|a\right|e^{i{\theta }_a}{e}^{-i\omega })$

$=\text{Arg}(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -{\theta }_a)})$

$=\text{Arg}(\{1-\left|a\right|cos(\omega -{\theta }_a)\}+i\{\left|a\right|sin(\omega -{\theta }_a)\})$

$=\text{Arg}(\{{\left|a\right|}^{-1}-\cos (\omega -{\theta }_a)\}+i\{\sin (\omega -{\theta }_a)\})$

${\varphi }_a(\omega )$所貢獻的相延遲如下。

$-\frac{d{\varphi }_a(\omega )}{d\omega }=\frac{{\sin }^2(\omega -{\theta }_a)+{\cos }^2(\omega -{\theta }_a)-{\left|a\right|}^{-1}\cos (\omega -{\theta }_a)}{{\sin }^2(\omega -{\theta }_a)+{\cos }^2(\omega -{\theta }_a)+{\left|a\right|}^{-2}-2{\left|a\right|}^{-1}\cos (\omega -{\theta }_a)}$

$-\frac{d{\varphi }_a(\omega )}{d\omega }=\frac{\left|a\right|-\cos (\omega -{\theta }_a)}{\left|a\right|+{\left|a\right|}^{-1}-2\cos (\omega -{\theta }_a)}$

若將零点$a$移到单位圆外的對應點，也就是$(a^{-1}{)}^{*}$，上式的分母和${\theta }_a$都不會變化，而分子的$\left|a\right|$大小增加，因此讓$a$在单位圆內可以讓群延遲中$1-a{z}^{-1}$的貢獻最小化。可以將上述結果延伸到超過一個零点的情形，因為$1-a_i{z}^{-1}$的相位是各項次相位相加的結果，因此，對於有$N$個零點的传递函数，

$\text{Arg}\left(\prod _{i=1}^N(1-a_i{z}^{-1})\right)=\sum _{i=1}^N\text{Arg}(1-a_i{z}^{-1})$

一個所有零点都在单位圆內的最小相位系統可以讓群延遲降到最小，因為每個零点對群延遲的貢獻都降到最小。

上述計算的圖示。上下二部份是相同增益响应的濾波器（左圖為奈奎斯特图，右圖為相位響應），但上方零點$a=0.8<1$的系統，其相位響應的大小最小

非最小相位系統

若系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定，原系統即為非最小相位系統（non-minimum-phase）。非最小相位系統和最小相位系統有相同的增益響應，但非最小相位系統的相位貢獻會比最小相位系統要大。

最大相位系統

最大相位系統（maximum-phase）是和最小相位系統有相反特性的系統，最大相位系統也是非最小相位系統（系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定），而且

• 離散時間系統下的零點都在單位圓外。
• 連續時間系統下的零點都在複數平面的右半邊。

也就是其逆系統所有的極點都不穩定。

此系統稱為最大相位系統的原因是在所有有相同增益響應的系統中，最大相位系統有最大的群延遲。在等增益響應的系統的系統中，最大相位系統有最大的能量延遲。

例如以下是二個連續時間LTI系統的傳遞函數

$\frac{s+10}{s+5}\text{and}\frac{s-10}{s+5}$

這二個系統的增益響應相同，但第二個系統相位移的貢獻較大，因此第二個系統是最大相位系統，而第一個系統為最小相位系統。

混合相位系統

離散時間下的混合相位系統（mixed-phase）有些零點在單位圓內，有些零在單位圓外，其群延遲不是最小值，也不是最大值。連續時間下的混合相位系統則是有些零點在右半平面內，有些零點在右半平面。

例如連續時間系統

$\frac{(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}$

是因果穩定系統，但有零點在左半平面，也有零點在右半平面，因此是混合相位系統。

線性相位

Template:Le（linear-phase）系統的群延遲是定值。非平凡的線性相位系統或是接近線性相位系統都是混合相位系統。

相關條目

• Template:Le：一種特殊的非最小相位系統
• 克拉莫-克若尼關係式：物理上的最小相位系統

延伸閱讀

• Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : Statistical and Adaptive Signal Processing, pp. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
• Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing, pp. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6