正合序列

Template:Unreferenced 在數學裡，尤其是在群論、環與模理論、同調代數及微分幾何等數學領域中，正合序列（或釋作正合列或恰當序列）是指一個由對象及其間的態射所組成的序列，該序列中的每一個態射的像都恰好是其下一個態射的核。正合序列可以為有限序列或無限序列。

正合序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是短正合序列。

定義

在群論裡，一個由群及群同態所組成的序列

$G_0\stackrel{f_1}{\to }{G}_1\stackrel{f_2}{\to }{G}_2\stackrel{f_3}{\to }\cdots \stackrel{f_n}{\to }{G}_n$

稱之為正合序列，若且唯若該序列中的每一個同態的像均等於其下一個同態的核：

$\mathrm{im}(f_k)=\ker (f_{k+1})$

上述的正合序列可以為有限序列，亦或是無限序列。

在其他的代數結構裡也可以得出類似的定義，如將群與群同態替換成向量空間與線性映射，或是模與模同態，也都可以得出類似的正合序列定義。更一般性地來說，任何一個具有核與上核的範疇裡都能形成正合序列的概念。

簡單例子

下面會舉出一些相對簡單的例子來幫助理解上述定義。這些例子均以-{zh:平凡;zh-hans:平凡;zh-hk:當然;zh-tw:平凡}-群作為開頭或結束，一般會將此一平凡群標記為0（表示加法運算，一般用於序列內的群為阿貝爾群時），或標記為1（表示乘法運算）。

• 序列0 → A → B 為正合序列，若且唯若從A 至B 的映射，其核為{0}，亦即若且唯若該映射為單射。
• 在對偶時，序列B → C → 0 為正合序列，若且唯若從B 至C 的映射，其像為整個C，亦即若且唯若該映射為滿射。
• 因此，序列0 → X → Y → 0 為正合序列，若且唯若從X 至Y 的映射同時為單射及滿射（即為雙射），並因此在大多數狀況下，該映射為從X 至Y 的同構。

短正合序列

短正合序列為具有下列形式的正合序列

$0\to A\stackrel{f}{\to }B\stackrel{g}{\to }C\to 0$

如上所述，對任何一個短正合序列，f 一定為單射，且g 一定為滿射，且f 的像會等於g 的核。因此，可導出一同構

$C\cong B/\mathrm{im}(f)$

若以下任一等價（依據分裂引理）條件成立，則稱短正合序列$0⟶A^{\prime }\stackrel{f}{⟶}A\stackrel{g}{⟶}{A}^{″}⟶0$ 分裂：

• $g$有截面（即存在$s:A^{″}\to A$使得$g\circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{A^{″}}$）
• $f$有縮回（即存在$r:A\to A^{\prime }$使得$r\circ f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{A^{\prime }}$）
• 該短正合序列同構（在鏈複形的意義下）於

$0⟶A^{\prime }⟶A^{\prime }\oplus A^{″}⟶A^{″}⟶0$

其中的箭頭是直和的典範映射。

對於群的範疇，前兩個條件不一定蘊含第三個，它們只能保證$A$可以表為$A^{\prime }$與$A^{″}$的半直積；例如我們可考慮群同態

$1⟶\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}⟶S_3⟶\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}⟶0$

其中$S_3$是3次對稱群。$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to S_3$由$n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3⟼(123{)}^n$給出，它的像是交代群$A_3$，商為$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$；但$S_3$無法分解成$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。

將正合序列拆解為短正合序列

正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列，構造方式如下：考慮一正合序列

$\cdots ⟶A_{n-1}⟶A_n⟶A_{n+1}⟶\cdots$

設

$Z_n:=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A_n\to A_{n+1})=\mathrm{I}\mathrm{m}(A_{n-1}\to A_n)=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(A_{n-2}\to A_{n-1})$

其中$2\le n\le 4$，這就給出了一個短正合序列

$0⟶Z_n⟶A_n⟶Z_{n+1}⟶0$

一般而言，設$A_{\bullet }$為鏈複形，我們同樣定義$Z_n:=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A_n\to A_{n+1})$；此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈$0\to Z_n\to A_n\to Z_{n+1}\to 0$的正合性。

推廣

給定一個短正合序列

$0⟶A^{\prime }⟶A⟶A^{″}⟶0$

有時也稱$A$為$A^{″}$經由$A^{\prime }$的擴張。

詳閱條目Ext函子與群上同調。

長正合序列

Template:Further 若有鏈複形的短正合序列：

$0⟶C{\text{'}}_{\bullet }⟶C_{\bullet }⟶C^{\prime }{\text{'}}_{\bullet }⟶0$

反覆運用蛇引理，可以導出正合序列

$\cdots ⟶H_{n+1}(C^{\prime }{\text{'}}_{\bullet })⟶H_n(C{\text{'}}_{\bullet })⟶H_n(C_{\bullet })⟶H_n(C^{\prime }{\text{'}}_{\bullet })⟶H_{n-1}(C{\text{'}}_{\bullet })⟶\cdots$

對上鏈複形的上同調亦同，此時連接同態的方向是$H^n(C^{\prime }{\text{'}}^{\bullet })\to H^{n+1}(C{\text{'}}^{\bullet })$。這類序列稱作長正合序列，它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中，長正合序列與相對同調群和Mayer-Vietoris序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。

參見

• 正合函子
• 鏈複形