单位根

复平面上的三次单位根

数学上，$n$次單位根是$n$次冪為1的複數。它們位於复平面的单位圆上，構成正多边形的頂點，但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。

定义

$z^n=1(n=1,2,3,\cdots )$

这方程的複數根 $z$為$n$次單位根。

單位的 $n$次根有 $n$個：

$e^{\frac{2\pi ki}{n}}(k=0,1,2,\cdots ,n-1)$。

本原根

單位的 $n$次根以乘法構成$n$階循環群。它的生成元是 $n$次本原單位根。$n$次本原單位根是$e^{\frac{2\pi ki}{n}}$，其中$k$和$n$互質。$n$次本原單位根數目為歐拉函數$\phi (n)$。 全体i次单位根对普通乘法作成群，即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群，且这是一个无限交换群，这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。

例子

一次單位根有一個: $1$。

二次單位根有兩個: $1$和$-1$，只有$-1$是本原根。

三次单位根是

$\{1,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\},$

其中$i$是虚數單位；除$1$外都是本原根。

四次單位根是

$\{1,i,-1,-i\},$

其中$i$和$-i$是本原根。

和式

當$n$不小於$2$时，$n$次單位根總和為$0$。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{\frac{2\pi ki}{n}}=\frac{e^{\frac{2\pi ni}{n}}-1}{e^{\frac{2\pi i}{n}}-1}=\frac{1-1}{e^{\frac{2\pi i}{n}}-1}=0$。

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。

還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理，由分圓方程的$x^{n-1}$項係數為零得出。