四次平面曲线

四次平面曲线（Template:Lang）是四Template:Le的平面代數曲線，可以表示為以下的多變數四次方程：

$A{x}^4+B{y}^4+C{x}^{3}y+D{x}^2{y}^2+Ex{y}^3+F{x}^3+G{y}^3+H{x}^{2}y+Ix{y}^2+J{x}^2+K{y}^2+Lxy+Mx+Ny+P=0,$

A, B, C, D, E中至少要有一個不為0。方程式有15個常數，不過方程式若乘以非零的任意數，不會改變曲線，因此可以將其中一個常數固定為1，留下14個可調整的常數。四次曲线的空間可以視為是${ℝ\mathbb{P}}^{14}$的实射影空间。依照Template:Le，若考慮一般位置下14個不同的點，通過這十四個點的四次平面曲线唯一，因此四次平面曲线的自由度為14。

四次曲线最多可以有：

• 四個相連的部份
• 28個Template:Tsl
• 3個一般的二重點。

也可以考慮在其他數學域（甚至是环）中的四次曲线，例如在复数中的四次曲线。此時可以得到黎曼曲面，在C上是一維的物件，但在R上是二維的物件。例如Template:Tsl，另外也可以探討射影平面下的曲線，由齐次多项式所定義。

舉例

Template:Multiple image 上述曲線中，係數的不同組合產生了以下重要的曲線族。

• Template:Tsl
• Template:Tsl
• Template:Tsl
• 卡西尼卵形线
• 三尖瓣线
• Template:Le
• 杖头线
• Template:Tsl

• 双扭线
  • 伯努利双纽线
  • 8字型线
• 帕斯卡蜗线
• Template:Tsl
• Template:Tsl
• 方圓形
  • Template:Tsl
• Template:Le
• Template:Tsl

&符號曲線

&符號曲線（ampersand curve）是以下方程對應的四次曲線

$(y^2-x^2)(x-1)(2x-3)=4(x^2+y^2-2x{)}^2.$

其亏格為0，有三個一般的雙點，都在實數平面上。

Bean曲線

Bean曲線（bean curve）是以下方程對應的四次曲線

$x^4+x^2{y}^2+y^4=x(x^2+y^2).$

其亏格為0，在原點有一個奇点，是一個一般的三次點 。

Bicuspid曲線

bicuspid是方程式如下的四次曲線：

$(x^2-a^2)(x-a{)}^2+(y^2-a^2{)}^2=0$

其中a決定了曲線的大小。 bicuspid只有二個node為奇異點，因此是虧格為1的曲線。

Bow曲線

Bow曲線是方程式如下的四次曲線：

$x^4=x^{2}y-y^3.$

在x=0, y=0處有單一的三重點，是有理曲線，虧格為0。

Cruciform曲線

Cruciform曲線是以下方程的四次曲線

$x^2{y}^2-b^2{x}^2-a^2{y}^2=0$

其中a和b為決定曲線形狀的参数。 Cruciform曲線可以透過一個標準的二次變換x ↦ 1/x, y ↦ 1/y轉變為橢圓a²x² + b²y² = 1，因此是虧格為0的有理平面代數曲線。Cruciform曲線在实射影平面中有三個雙重點，是（x=0、y=0），（x=0 、z=0） 以及（y=0、z=0）。

此曲線是有理曲線，參數化後的結果也是有理函數。例如，令a=1及b=2，可得以下的參數式

$x=-\frac{t^2-2t+5}{t^2-2t-3},y=\frac{t^2-2t+5}{2t-2}$

其中唯一一個無法參數化的點是會讓參數式分母為零的點。

Spiric截面

Template:Tsl可以定義成對x軸及y軸對稱的Template:Tsl四次平面曲线。Spiric截面包括在環面曲線中，其中包括了Template:Tsl及卡西尼卵形线。其英文名稱Spiric源自古希臘文的環面σπειρα。

笛卡儿坐标系下的方程式為

$(x^2+y^2{)}^2=d{x}^2+e{y}^2+f,$

極座標系的方程式為

$r^4=d{r}^2{\cos }^2\theta +e{r}^2{\sin }^2\theta +f.$

三葉線

三葉線（three-leaved clover）是以下方程的四次平面曲線

$x^4+2x^2{y}^2+y^4-x^3+3x{y}^2=0.$

在求解y後，曲線可以表示為以下的方程：

$y=\pm \sqrt{\frac{-2x^2-3x\pm \sqrt{16x^3+9x^2}}{2}},$

其中二個±是彼此獨立的，因此每一個x會對應四個y值。

三葉線的參數式為

$x=\cos (3t)\cos t,y=\cos (3t)\sin t.$

在極坐標（x = r cos φ, y = r sin φ）下的方程如下

$r=\cos (3\phi ).$

這是玫瑰线中k = 3的特例。 三葉線在原點處為三重點，有三個二切線。