玫瑰线

七个瓣的玫瑰线

八个瓣的玫瑰线（k=4）

各种各样的玫瑰线

玫瑰线是极坐标系中的正弦曲线，可以用以下的方程来表示：

$r=\cos (k\theta ).$

如果k是偶数，玫瑰线就有2k个瓣，如果k是奇数，则有k个瓣。

如果k是有理数，玫瑰线就是封闭的，其长度有限。如果k是无理数，则曲线不是封闭的，长度为无穷大。在这种情况下，玫瑰线的图形便形成了一个稠密集。

由于对于所有的$\theta$，都有：

$\sin (k\theta )=\cos (k\theta -\frac{\pi }{2})=\cos \left(k(\theta -\frac{\pi }{2k})\right)$

因此由以下方程所确定的玫瑰线

$r=\sin (k\theta )$和$r=\cos (k\theta )$

除了角度的不同以外，是全等的。

面积

由以下方程所确定的玫瑰线

$r=a\cos (k\theta )$

其中k是正整数，具有面积：

$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(a\cos (k\theta ){)}^{2}d\theta =\frac{a^2}{2}(\pi +\frac{\sin (4k\pi )}{4k})=\frac{\pi a^2}{2}$

如果k是偶数；

$\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(a\cos (k\theta ){)}^{2}d\theta =\frac{a^2}{2}(\frac{\pi }{2}+\frac{\sin (2k\pi )}{4k})=\frac{\pi a^2}{4}$

如果k是奇数。

相同的公式也适用于以下形式的玫瑰线：

$r=a\sin (k\theta )$

参见

• 利萨茹曲线
• 四叶线──k=2时的玫瑰线。

外部链接

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