三尖瓣线

紅色的即為三尖瓣线

三尖瓣线（tricuspoid）也稱為施泰纳曲線（Steiner curve），是有三個尖點的圆内螺线，是一個圓繞著直徑為其三倍的圓內側無滑動滾動時，圓上一點產生的一般旋轮线

三尖瓣线也可以指有三個頂點，之間用向內彎曲的曲線相連的封閉空間，因此三尖瓣线內的空間是非凸集合。

方程式

三尖瓣线可以用以下的參數方程表示：

$x=(b-a)\cos (t)+a\cos \left(\frac{b-a}{a}t\right)$

$y=(b-a)\sin (t)-a\sin \left(\frac{b-a}{a}t\right),$

其中a是小圓的半徑，b是大圓（也就是小圓在其內側無滑動滾動）的半徑（此處b = 3a）。

在複變座標下可得

$z=2a{e}^{it}+a{e}^{-2it}$.

上述的t可以消去，得到以下的笛卡爾座標下的方程

$(x^2+y^2{)}^2+18a^2(x^2+y^2)-27a^4=8a(x^3-3x{y}^2),$

因此三尖瓣线是四階的代數曲線，在極坐標下為

$r^4+18a^2{r}^2-27a^4=8a{r}^3\cos 3\theta .$

曲線有三個奇點，是對應$t=0,\pm \frac{2\pi }{3}$的尖點。上述的參數式意味者曲線為有理曲線，也就表示其Template:Le為零。

三尖瓣线的Template:Le為

$x^3-x^2-(3x+1)y^2=0,$

在原點有一個二重點，若進行一個虛軸上的旋轉y ↦ iy，曲線會變為下式，就可以看到其二重點

$x^3-x^2+(3x+1)y^2=0$

在實平面的原點上有二重點。

面積及周長

三尖瓣线的面積為$2\pi a^2$，其中a為小圓的半徑，其面積是小圓面積的兩倍。

其周長為16a。

歷史

早在1599年時，伽利略·伽利莱及马兰·梅森就已開始研究常見的摆线，而奧勒·羅默在1674年研究齒輪的最佳外形時，也有用到摆线。李昂哈德·歐拉認為他是最早（1745年）將三尖瓣线應用在實際光學問題的人。

應用

三尖瓣线有應用在許多的數學領域中，舉例如下：

• 三維Template:Le矩陣複數特徵值的集合即為三尖瓣线。
• SU(3)群裡所有酉矩阵的可能跡的集合會組成三尖瓣线。
• 二個三尖瓣线的交集會形成一群6階的Template:Le。
• 三角形的所有西姆松線的集合，其包絡線會是三尖瓣线。因為雅各布·施泰纳在1856年描述過此曲線的形狀及對稱性，因此此曲線稱為這稱為施泰纳三尖瓣线，。
• 三角形面積平分線的包絡線會是三尖瓣线，三個頂點是中線的中點。三尖瓣线的三邊是双曲线的弧。
• 三尖瓣线屬於Template:Le中的掛谷針集合（Kakeya needle set，長度為1的針可以在其中旋轉360度），有科學家認為三尖瓣线是掛谷針問題（Kakeya needle problem，面積最小小的掛谷針集合）的解，後來發現不是。

相關條目

• 星形线：有三個尖點的圆内螺线
• Template:Le
• 勒洛三角形
• 超橢圓

参考资料

• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Cite book
• "Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves IndexTemplate:Wayback
• "Deltoid" at MathCurveTemplate:Wayback
• Template:Springer