齐次函数

在數學中，齐次函数（Template:Lang-en）是一個有倍數性質的函數：如果变數乘以一個係數，則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。

正式定义

假设$f:V\to W$是域$F$内的两个向量空间之间的函数。

我们说$f$是“$k$次齐次函数”，如果对于所有非零的$\alpha \in F$和$𝐯\in V$，都有：

$f(\alpha 𝐯)={\alpha }^{k}f(𝐯)$

即是，在歐幾里得空間，$f(\alpha 𝐯)=f(k)f(𝐯)$， 其中$f(k)$為指數函數。

例子

• 线性函数$f:V\to W$是一次齐次函数，因为根据线性的定义，对于所有的$\alpha \in F$和$𝐯\in V$，都有：$$f(\alpha 𝐯)=\alpha f(𝐯)$$
• 多线性函数$f:V_1\times \dots \times V_n\to W$是n次齐次函数，因为根据多线性的定义，对于所有的$\alpha \in F$和${𝐯}_1\in V_1,\dots ,{𝐯}_n\in V_n$都有：$$f(\alpha {𝐯}_1,\dots ,\alpha {𝐯}_n)={\alpha }^{n}f({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n)$$
• 从上一个例子中可以看出，两个巴拿赫空间$X$和$Y$之间的函数$f:X\to Y$的$n$阶弗雷歇导数是$n$次齐次函数。
• $n$元单项式定义了齐次函数$f:{ℝ}^n\to ℝ$。

例如：

$f(x,y,z)=x^5{y}^2{z}^3$

是10次齐次函数，因为：

$(\alpha x{)}^5(\alpha y{)}^2(\alpha z{)}^3={\alpha }^{10}{x}^5{y}^2{z}^3$。

• 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如：

$x^5+2x^3{y}^2+9x{y}^4$

是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。

基本定理

• 欧拉定理：假设函数$f:{ℝ}^n\to ℝ$是可导的，且是$k$次齐次函数。那么：

$𝐱\cdot \mathrm{\nabla }f(𝐱)=kf(𝐱)$。

这个结果证明如下。记$f=f(x_1,\dots ,x_n)=f(𝐱)$，并把以下等式两端对$\alpha$求导：

$f(\alpha 𝐱)={\alpha }^{k}f(𝐱)$

利用复合函数求导法则，可得：

$\frac{\partial }{\partial \alpha x_1}f(\alpha 𝐱)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }(\alpha x_1)+\cdots +\frac{\partial }{\partial \alpha x_n}f(\alpha 𝐱)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }(\alpha x_n)=k{\alpha }^{k-1}f(𝐱)$，

因此：

$x_1\frac{\partial }{\partial \alpha x_1}f(\alpha 𝐱)+\cdots +x_n\frac{\partial }{\partial \alpha x_n}f(\alpha 𝐱)=k{\alpha }^{k-1}f(𝐱)$。

以上的方程可以用劈形算符写为：

$𝐱\cdot \mathrm{\nabla }f(\alpha 𝐱)=k{\alpha }^{k}f(𝐱),\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n})$，

当$\alpha =1$，定理即得证。

• 假设$f:{ℝ}^n\to ℝ$是可导的，且是$k$阶齐次函数。则它的一阶偏导数$\partial f/\partial x_i$是$k-1$阶齐次函数。

这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记$f=f(x_1,\dots ,x_n)=f(𝐱)$，并把以下等式两端对$x_i$求导：

$f(\alpha 𝐱)={\alpha }^{k}f(𝐱)$

利用复合函数求导法则，可得：

$\frac{\partial }{\partial \alpha x_i}f(\alpha 𝐱)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}_i}(\alpha x_i)={\alpha }^k\frac{\partial }{\partial x_i}f(𝐱)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}_i}(x_i)$，

因此：

$\alpha \frac{\partial }{\partial \alpha x_i}f(\alpha 𝐱)={\alpha }^k\frac{\partial }{\partial x_i}f(𝐱)$

所以

$\frac{\partial }{\partial \alpha x_i}f(\alpha 𝐱)={\alpha }^{k-1}\frac{\partial }{\partial x_i}f(𝐱)$.

用于解微分方程

对于以下的微分方程

$I(x,y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+J(x,y)=0,$

其中$I$和$J$是同次数的齐次函数，利用变量代换$v=y/x$，可以把它化为可分离变量的微分方程：

$x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-\frac{J(1,v)}{I(1,v)}-v$。

参考文献

• Template:Cite book

外部链接

• Template:Springer
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