高斯整數

高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作 $𝐙 [i]$ ，是個不可以轉成有序環的欧几里得整环。

𝐙 [i] = {a + b i ∣ a, b \in ℤ}

高斯整數的范数都是非負整數，定義為

N (z w) = N (z) N (w)

$𝐙 [i]$ 單位元 $1, - 1, i, - i$ 的範數均為 $1$ 。

高斯整環

高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为 $1, - 1, i, - i$ 。

質元素

𝐙 [i]

的素元素又称为高斯質數。

高斯整数 $a + b i$ 是素数当且仅当：

$a, b$ 中有一个是零，另一个是形为 $4 n + 3$ 或其相反数 $- (4 n + 3)$ 的素数

或

$a, b$ 均不为零，而 $a^{2} + b^{2}$ 为素数。

以下给出这些条件的证明。

必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数 $g$ ， $g ∣ g \overline{g} = N (g)$ 。现在， $N (g)$ 是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数 $p_{1} p_{2} \dots p_{n}$ 的乘积。根据素数的定义，如果 $g$ 是素数，则它可以整除 $p_{i}$ ，对于某个 $i$ 。另外， $\overline{g}$ 可以整除 $\overline{p_{i}} = p_{i}$ ，因此 $N (g) = g \overline{g} ∣ p_{i}^{2}$ 。于是现在只有两种选择：要么 $g$ 的范数是素数，要么是素数的平方。

如果实际上对于某个素数 $p$ ，有 $N (g) = p^{2}$ ，那么 $g$ 和 $\overline{g}$ 都能整除 $p^{2}$ 。它们都不能是可逆元，因此 $g = p u$ ，以及 $\overline{g} = p \overline{u}$ ，其中 $u$ 是可逆元。这就是说，要么 $a = 0$ ，要么 $b = 0$ ，其中 $g = a + b i$ 。

然而，不是每一个素数 $p$ 都是高斯素数。 $2$ 就不是高斯素数，因为 $2 = (1 + i) (1 - i)$ 。高斯素数不能是 $4 n + 1$ 的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成 $a^{2} + b^{2}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是整数，且 $a^{2} + b^{2} = (a + b i) (a - b i)$ 。剩下的就只有形为 $4 n + 3$ 的素数了。

形为 $4 n + 3$ 的素数也是高斯素数。假设 $g = p + 0 i$ ，其中 $p = 4 n + 3$ 是素数，且可以分解为 $g = h k$ 。那么 $p^{2} = N (g) = N (h) N (k)$ 。如果这个分解是非平凡的，那么 $N (h) = N (k) = p$ 。但是，任何两个平方数的和都不能写成 $4 n + 3$ 的形式。因此分解一定是平凡的，所以 $g$ 是高斯素数。

类似地， $i$ 乘以一个形为 $4 n + 3$ 的素数也是高斯素数，但 $i$ 乘以形为 $4 n + 1$ 的素数则不是。

如果 $g$ 是范数为素数的高斯整数，那么 $g$ 是高斯素数。这是因为如果 $g = h k$ ，那么 $N (g) = N (h) N (k)$ 。由于 $N (g)$ 是素数，因此 $N (h)$ 或 $N (k)$ 一定是1，所以 $h$ 或 $k$ 一定是可逆元。

作为整闭包

高斯整数环是 $𝐙$ 在高斯有理数域中的整闭包，由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。

作为欧几里德环

在图中很容易看到，每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 个单位。因此， $𝐙 [i]$ 是一个欧几里德环，其中 $v (z) = N (z)$ 。所以，該環尤其是主理想整環，其理想皆形如 $⟨ a + b i ⟩$ 。若 $(a, b) = 1$ ，則對應的商是：

ℤ [i] / ⟨ a + b i ⟩ ≅ ℤ_{a^{2} + b^{2}} = {[0], [1], [2] \dots, [a^{2} + b^{2} - 1]} .

^[1]

未解决的问题

高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的，但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。

关于高斯整数，还有一些猜想和未解决的问题，例如：

实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数 $3, 7, 11, 19, \dots$ 。在复平面上，还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗？特别地，实数部分为 $1$ 的直线上存在无穷多个高斯素数吗？

在高斯素数上行走，步伐小于某个给定的值，可以走到无穷远吗？

參見

参考文献

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C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-148.
从数到环：环论的早期历史，由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
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[1]

高斯整數

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質元素

作为整闭包

作为欧几里德环

未解决的问题

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