高斯圓問題

Template:Request translation 數學中，高斯圓問題（Template:Lang-en）問以原點為中心，$r$為半徑的圓內，有多少個Template:Le。答案與圓的面積相近，因此，真正的問題是如何準確地描述點數與面積的差異。問題得名自數學家卡爾·弗里德里希·高斯。

問題

考慮${ℝ}^2$中以原點為中心和以$r\ge 0$為半徑的一個圓。高斯圓問題詢問該圓中有多少個點$(m,n)$使$m$和$n$都是整数。由於在笛卡爾坐標系中，這個圓的方程式是$x^2+y^2=r^2$，問題等價於詢問有多少對整數$m$和$n$使得

$m^2+n^2\le r^2.$

以$N(r)$表示輸入為$r$時的答案。以下第一行先列出$r$由$0$至$12$時，$N(r)$的值，第二行列出$\pi r^2$四捨五入到最接近的整數，以作比較：

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 Template:OEIS

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 Template:OEIS

解決方案和猜想的上下界

$N(r)$大概是$\pi r^2$ ，半徑範圍內的區域$r$ 。這是因為平均而言，每個單位正方形包含一個格子點。因此，圓中格子點的實際數量大約等於其面積， $\pi r^2$ 。因此，應該預期

$N(r)=\pi r^2+E(r)$

對於某些錯誤項$E(r)$具有相對較小的絕對值。找到正確的上限$\mid E(r)\mid$因此是問題採取的形式。注意$r$不必是整數。後$N(4)=49$一個有$N(\sqrt{17})=57,N(\sqrt{18})=61,N(\sqrt{20})=69,N(5)=81.$在這些地方$E(r)$之後它減少（以$2\pi r$ ），直到下一次增加為止。

高斯設法證明

$|E(r)|\le 2\sqrt{2}\pi r.$

谢尔品斯基将指數改进至$2/3$，以大O符号表示，即證明$|E(r)|=O(r^{2/3})$，Template:Le引进了他关于外尔和的估计，从而证明了指數為$37/56$的結果（此數略小於$2/3$）。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚与陈景润分别证得指數為$13/20$與$24/37$的上界。 Template:Unsolved 下界方面，哈代和Landau分別獨立證明

$|E(r)|\ne o(r^{1/2}(\log r{)}^{1/4}),$

其中用到小o表示。據推測，正確的界線是

$|E(r)|=O\left(r^{1/2+\epsilon }\right).$

設$E(r)\le C{r}^t$總成立，則關於$t$的最小可能值$t_0$，目前所知的結果是

$\frac{1}{2}<t_0\le \frac{131}{208}=0.6298\dots ,$

其中下界是1915年Hardy和Landau所證，上界於2000年由Template:Le证明。

確切形式

$N(r)$的值可以由幾個形式給出，例如以下取整函數表示成以下和式：

$N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\lfloor \frac{r^2}{4i+1}\rfloor -\lfloor \frac{r^2}{4i+3}\rfloor ).$

這是雅可比Template:Le的結果，該定理來自Template:Le。

如果將Template:Le$r_2(n)$定義為將自然數$n$寫為兩個整數平方之和的方法數，則$r_2(n)/4$是一个积性函数，且可寫出較簡單的和式：

$N(r)=\sum _{n=0}^{r^2}{r}_2(n)$

Hardy首次發現了以下的最新成果：

$N(x)-\frac{r_2(x^2)}{2}=\pi x^2+x\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{r_2(n)}{\sqrt{n}}{J}_1(2\pi x\sqrt{n}),$

其中$J_1$表示第一種階數為1的貝塞爾函數。

概論

儘管最初的問題要求在一個圓內的整數點個數，但沒有理由不考慮其他形狀，例如圓錐形。的確，狄利克雷（Dirichlet）的除數問題是用矩形雙曲線替換圓的等價問題。同樣，可以將問題從二維擴展到更高的維度，並在球體或其他物體中求整數。關於這些問題有大量文獻。如果忽略幾何學而僅將問題視為Diophantine不等式的代數之一，則可能會增加問題中出現的指數，從平方到立方，甚至更高次方。

原始圓問題

另一個概括是計算互質整數解數量$m,n$的不等式

$m^2+n^2\le r^2.$

此問題稱為原始圓問題，因為它涉及搜索原始圓問題的原始解。可以直觀地理解為在原點的歐幾里得果園中可見多少距離為r的樹木的問題。如果表示此類解決方案的數量$V(r)$然後的值$V(r)$為了$r$取小整數值是

0，4，8，16，32，48，72，88，120，152，192 （OEIS中的數列A175341）

使用與普通的高斯圓問題相同的方法，以及兩個整數互質的機率為$6/{\pi }^2$，容易證明

$V(r)=\frac{6}{\pi }{r}^2+O(r^{1+\epsilon }).$

與普通的圓問題一樣，原始圓問題的問題部分在於減少誤差項中的指數。如果假設黎曼猜想正確，目前最著名的指數是$221/304+\epsilon$。在不假設黎曼猜想正確的情況下，最著名的上限是

$V(r)=\frac{6}{\pi }{r}^2+O(r\exp (-c(\log r{)}^{3/5}(\log \log r^2{)}^{-1/5}))$

其中$c$為正常數 。 特別是，目前不假設黎曼猜想正確的情況下，對於任何$\epsilon >0$，$1-\epsilon$的誤差項沒有限制。

外部鏈接

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