逐點收斂

逐點收歛也稱點態收斂（Template:Lang-en，或称简单收敛），是數學中描述一組函数序列向一个函数趋近的一種方式（函數趨近極限有其他不同方式，個中差異請小心分辨）。詳細點講，如果这組函数列在定義域中每点的取值都會趋于一个极限值，這時可以用每點的極限來定義這組函數序列的極限函數，被趋近的这个極限函数称作這個函数序列的逐点极限。在各种收敛中，逐点收敛較容易了解跟想象，但未必能很好地保持函数的一些重要性质，比如说连续性等等。

定义

设 $\{f_n\}$ 是一組有相同定义域的函数序列。序列 $\{f_n\}$ 逐点收敛当且仅当存在函数 $f$，使得在定义域中的每點 $x$，都有：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x)$

这时我们就说序列 $\{f_n\}$ 逐点收敛到 $f$，或說函數 $f$ 是序列 $f_n$ 的逐點極限函數。在英文中也寫作：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n=f\text{ pointwise},$

性质

与逐点收敛经常一起出现的一个概念是一致收敛（Template:Lang-en）。一致收歛的定义如下： 假設序列 $(f_n)$ 中的函數跟函數 $f$ 都有相同的定義域 $I$。定義函數序列 $(f_n)$ 一致收敛到 $f$，若數列 $a_n=\sup \{|f_n(x)-f(x)|:x\in I\}$ 趨近於零，用符號表示就是：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$，換句話講也就是：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sup \{|f_n(x)-f(x)|:x\in I\}=0$

兩相比較，一致收敛對於函數趨近的方式限制更大，所以一致收敛的函数序列必然逐点收敛，反之则不然。一个简单的例子是函数序列 $f_n:[0,1]\to [0,1]$，讓 $f_n(x)=x^n$，則 $(f_n)$ 逐点收敛到（不連續）函数

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& x\in [0,1)\\ 1& x=1\end{array}$,

但并不一致收敛到該函數，因為對每個 $n$，$\sup \{|f_n(x)-f(x)|:x\in [0,1]\}$ 皆為 1，所以

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sup \{|f_n(x)-f(x)|:x\in [0,1]\}=1\ne 0$。

這說明了序列 $(f_n)$ 並不一致收歛。 一致收敛能够保持函数序列的连续性，但逐点收敛不能。如上例， 序列 $(f_n(x)=x^n)$ 都在闭区间 $[0,1]$ 上连续，但是 $(f_n)$ 逐点收敛到的函数 $f$ 並不是连续函数。

逐點收歛不要求序列 $(f_n)$ 中函数的取值一定是实数，也可以是任何使其定义有意义的拓扑空间。但一致收敛函数的适用范围则相对较小，比如如果函數序列 $(f_n)$ 的對應域僅是拓樸空間，那可能一致收歛的定義並無意義，所以一致收歛的對應域一般在度量空间。因为一致收歛定義中表達趨近的部分我們（部分的）利用了距离的概念（絕對值就是距離的概念），在這定義中無法被其他概念取代，相對來說逐點收歛中表達趨近的部分雖然也用了距離概念，但可以用拓樸空間中的開集合來取代，。

拓扑性质

逐点收敛也可以理解为由半范数$||f|{|}_x=|f(x)|$建立的拓扑。具有这种拓扑的函数组成的空间叫做逐点收敛空间。这个拓扑与乘积拓扑是等价的。如果$f$的定义域和值域都是紧致的，根据吉洪诺夫定理，这个空间也是紧致的。

测度论

在测度理论中，对一个可测空间上的可测函数有几乎处处收敛的概念，也就是说几乎处处逐点收敛。叶戈罗夫定理说明，在有限测度的集合上几乎处处逐点收敛，意味着在稍微较小的集合上一致收敛。

参见

• 一致收敛
• 拓扑空间