賦值向量環

Template:NoteTA 在數論中，賦值向量環或阿代爾環（法文：adèle，英譯多用原文）是由一個域 $F$ 的所有完備化構成的拓撲環 ${𝔸}_F$，原域 $F$ 可以對角方式嵌入其中。

在現代代數數論中，賦值向量環是處理整體問題的基本語言。

法文原文 adèle 是 idèle additif 的縮寫，其中 idèle 意指理想元（élément idéal）。adèle 也是法文中常見的女性名字。

定義

設 $F$ 為整體域，例如有理數域 $\mathbb{Q}$、一般的數域或函數域 ${𝔽}_q(T)$ 等等。設 ${𝒪}_F$ 為其中的代數整數環。對於所有 $F$ 上的賦值 $v$（又稱位），可定義相應的完備化 $F_v$。在此，通常將賦值分為有限與無限兩類：

• 有限賦值：一一對應於 ${𝒪}_F$ 的素理想，兩兩不相等價。其中的賦值環記為 ${𝒪}_v$。
• 無限賦值：$F$ 上的阿基米德賦值。對於數域，無限賦值係由域的嵌入 $\alpha :F\to ℂ$ 給出，兩個嵌入 $\alpha ,\beta :F\to ℂ$ 給出等價賦值的充要條件是其間至多差一個複共軛：$\alpha =\overline{\beta }$。無限賦值的個數有限。

有時也以素理想的慣用符號 $𝔭$ 表示賦值，並以 $𝔭\mid \mathrm{\infty }$ 表示 $𝔭$ 為無窮賦值。

定義

${𝔸}_F:={\prod _v}^{\prime }{F}_v$

上式的積稱為限制積，這是 ${\mathrm{\Pi }}_v{F}_v$ 的子環，我們要求對其中的每個元素 $({\alpha }_v{)}_v$，存在包含所有無窮賦值的有限集 $S$，使得 $v\notin S\Rightarrow {\alpha }_v\in {𝒪}_v$。賦予 ${𝔸}_F$ 相應的子空間拓撲，是為賦值向量環。

${𝔸}_F$ 的拓撲由在 $0$ 點的一組局部基確定，可取下述形式之開集：

$(\prod _{v\in S}{U}_v)\times (\prod _{v\notin S}{𝒪}_v)$

其中 $S$ 是函括所有無限賦值的有限集，$U_v\ni 0$ 是 $F_v$ 的開子集。根據吉洪諾夫定理可知 ${𝔸}_F$ 為局部緊拓撲環，這是採限制積定義的原因之一。

性質

• 對角嵌入 $F\to {\mathrm{\Pi }}_v{F}_v(\alpha \mapsto (\alpha {)}_v)$ 的像落在 ${𝔸}_F$，可證明 $F$ 構成 ${𝔸}_F$ 的離散子集，而商群 ${𝔸}_F/F$ 是緊群。

• 固定 ${𝔸}_F$ 的任一特徵標 $\psi \ne 1$，則任何特徵標 ${\psi }^{\prime }$ 皆可唯一地表示成 ${\psi }^{\prime }(x)=\psi (ax)(a\in {𝔸}_F)$，是故加法群 $({𝔸}_F,+)$ 是其自身的對偶群。這是在賦值向量環上開展調和分析的關鍵之一。

應用

賦值向量環主要用於代數數論中。對於 $F$ 上的代數群 $G$，可考慮其上的 ${𝔸}_F-$點 $G({𝔸}_F)$。由於代數群總是線性的（換言之，可嵌入 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n)$），$G({𝔸}_F)$ 可以具體設想為係數佈於環 ${𝔸}_F$ 上的線性群，並帶有自然的拓撲結構。

最簡單的情形是 $G={𝔾}_m$，此時 $G({𝔸}_F)={𝔸}_F^{\times }$ 稱為 idèle 群，這是整體類域論的基石。在郎蘭茲綱領中，須考慮更廣泛的代數群，以描述數域的絕對伽羅瓦群。

文獻

• J. W. S. Cassels, A. Frohlich, Algebraic Number Theory ISBN 0-12-163251-2