立方和

立方和的簡單圖解

立方和是數學公式的一種，它屬於因式分解、乘法公式及恆等式，被普遍使用。立方和是指一個立方數，加上另一個立方數，即是它們的總和。公式如下：

$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=(a\pm b{)}^3\mp 3ab(a\pm b)$

立方和被因式分解後，答案分別包含二項式及三項式，與立方差相同。

驗證

主驗證

驗證此公式，可透過因式分解，首先設以下公式：

$a^{2}b-a^{2}b+a{b}^2-a{b}^2=0$

然後代入：

$a^3+b^3=a^3-a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b-a{b}^2+b^3$

透過因式分解，可得：

$a^3+b^3=a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

這樣便可驗證：$a^3+b^3\equiv (a+b)(a^2-ab+b^2)$

和立方驗證

透過和立方可驗證立方和的原理：

$(x+y{)}^3$

$=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

那即是只要減去$3x^{2}y$及$3x{y}^2$便可得到立方和，可設：

$x^3+y^3=(x+y{)}^3-3x^{2}y-3x{y}^2$

右邊的方程 $=(x+y{)}^3-3x^{2}y-3x{y}^2$

運用因式分解的方法：

$=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$

$=(x+y)[(x+y{)}^2-3xy]$

$=(x+y)(x^2+2xy+y^2-3xy)$

$=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

這樣便可驗證出：$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

幾何驗證

圖象化$a^3+b^3$

透過繪立體的圖像，也可驗證立方和。 根據右圖，設兩個立方，總和為：

$x^3+y^3$

把兩個立方體對角貼在一起，根據虛線，可間接得到：

$(x+y{)}^3$

要得到$x^3+y^3$，可使用$(x+y{)}^3$的空白位置。該空白位置可分割為3個部分：

• $x\times y\times (x+y)$
• $x\times (x+y)\times y$
• $(x+y)\times y\times x$

把三個部分加在一起，便得：

$=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)$

$=3xy(x+y)$

之後，把$(x+y{)}^3$減去它，便得： $=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$ 上公式發現兩個數項皆有一個公因子，把它抽出，並得：

$=(x+y)[(x+y{)}^2-3xy]$

$(x+y{)}^2$可透過和平方公式，得到：

$=(x+y)(x^2+2xy+y^2-3xy)$

$=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

這樣便可證明$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

反驗證

透過$(a+b)(a^2-ab+b^2)$也可反驗證立方和。

$(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$=a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2)$

$=a^3-a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b-a{b}^2+b^3$

$=a^3+b^3$

以上計算方法亦可簡化為一個表格：

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

x)	$+a^2$	$-ab$	$+b^2$
$+a$	$+a^3$	$-a^{2}b$	$+a{b}^2$
$+b$	$+a^{2}b$	$-a{b}^2$	$+b^3$

這樣便可證明$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

立方差

立方差也可以使用立方和來驗證，例如：

$125u^3-343v^3$

把兩個數項都轉為立方數：

$=(5u{)}^3-(7v{)}^3$

運用負正得負，可得：

$=(5u{)}^3+(-7v{)}^3$

然後運用立方和，可得：

$=[5u+(-7v)][25u^2-(5u)(-7v)+(-7v{)}^2]$

$=(5u-7v)(25u^2+35uv+49v^2)$

這個方法更可驗證到立方差的公式是$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

兩組立方和的數

有些整數可以有兩個立方和組合， 而最少的，已是過千的1729。它是兩組不同的立方和：

$1729=1^3+12^3$

$1729=9^3+10^3$

下一個同樣有兩個立方和組合的整數是4104：

$4104=9^3+15^3$

$4104=2^3+16^3$

首十個兩組立方和的數：1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728

参见

• 幾何學
• 工程學