海伦公式

Template:NoteTA -{zh-cn:海伦公式;zh-hk:希羅公式;zh-tw:海龍公式}-（Template:Lang-en），又譯希罗公式。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現，並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明，原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式，因为《Metrica》是一部古代數學知識的結集，该公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。

假設有一個三角形，邊長分別為$a,b,c$，三角形的面積$A$可由以下公式求得：

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中$s=\frac{a+b+c}{2}$

中国南宋末年數學家秦九韶发现或知道等價的公式，其著作《數書九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂併大斜幂，減中斜幂，餘半之，自乘於上；以小斜幂乘大斜幂，減上，餘四約之，爲實，一為從隅，開平方，得積。”若以大斜记为$a$，中斜记为$b$，小斜记为$c$，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：

$A=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{c}^2-{\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)}^2]}$，其中$a\ge b\ge c$

像其他中國古代的數學家一样，他的方法沒有證明。根據现代數學家吴文俊的研究，秦九韶公式可由出入相補原理得出。

由於任何$n$边的多邊形都可以分割成$n-2$个三角形，所以海伦公式可以用作求多邊形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明

利用三角公式和代数式变形来证明

与希羅在他的著作《Metrica》中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，则余弦定理为

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

利用和平方、差平方、-{平方差}-等公式，从而有

$\begin{array}{cc}\sin C& =\sqrt{1-{\cos }^{2}C}\\ & =\sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)}\\ & =\sqrt{(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})(1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})}\\ & =\sqrt{\left(\frac{2ab+(a^2+b^2-c^2)}{2ab}\right)\left(\frac{2ab-(a^2+b^2-c^2)}{2ab}\right)}\\ & =\sqrt{\left(\frac{(2ab+a^2+b^2)-c^2}{2ab}\right)\left(\frac{c^2-(a^2+b^2-2ab)}{2ab}\right)}\\ & =\sqrt{\left[\frac{(a+b{)}^2-c^2}{2ab}\right]\left[\frac{c^2-(a-b{)}^2}{2ab}\right]}\\ & =\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab}\\ & =\frac{\sqrt{(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}}{2ab}\\ & =\frac{2}{ab}\sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)}\end{array}$

$\begin{array}{cc}A& =\frac{1}{2}ab\sin C\\ & =\frac{ab}{2}\cdot \frac{2}{ab}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\end{array}$

利用勾股定理和代数式变形来证明

$b^2=h^2+d^2$

$a^2=h^2+(c-d{)}^2$

$a^2-b^2=c^2-2cd$

$d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}$

$\begin{array}{cc}{h}^2& =b^2-{\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)}^2\\ & =\frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\ & =\frac{((b+c{)}^2-a^2)(a^2-(b-c{)}^2)}{4c^2}\\ & =\frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\ & =\frac{2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^2}\\ & =\frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}\end{array}$

$\begin{array}{cc}A& =\frac{ch}{2}\\ & =\sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\\ & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\end{array}$

用旁心來證明

設$△ABC$中，$\overline{AB}=c,\overline{BC}=a,\overline{CA}=b$。

$I$為內心，$I_a,I_b,I_c$為三旁切圓。

$\because \mathrm{\angle }{I}_{a}BI=\mathrm{\angle }{I}_{a}CI=90^{𝗈}$

$\therefore I_{a}CIB$四點共圓，並設此圓為圓$O$。

1. 過$I$做鉛直線交$\overline{BC}$於$P$，再延長$\overleftrightarrow{IP}$，使之與圓$O$交於$Q$點。再過$I_a$做鉛直線交$\overline{BC}$於$R$點。
2. 先證明$◻I_{a}QPR$為矩形：$\because \mathrm{\angle }QPR=90^{𝗈},\mathrm{\angle }{I}_{a}RP=90^{𝗈}$，又$\mathrm{\angle }{I}_{a}QI=\mathrm{\angle }{I}_{a}BI=90^{𝗈}$(圓周角相等)。$\therefore ◻I_{a}QPR$為矩形。因此，$\overline{I_{a}R}=\overline{QP}$。
3. $\overline{PI}=$內切圓半徑$=\frac{△}{\frac{a+b+c}{2}}$，$\overline{I_{a}R}=$旁切圓半徑$=\frac{△}{\frac{b+c-a}{2}}$。且易知$\overline{BP}=\frac{c+a-b}{2},\overline{PC}=\frac{a+b-c}{2}$。由圓冪性質得到：$\overline{PC}\times \overline{PB}=\overline{PQ}\times \overline{PI}=\overline{I_{a}R}\times \overline{PI}$。故$\frac{a+b-c}{2}\times \frac{c+a-b}{2}=\frac{△}{\frac{a+b+c}{2}}\times \frac{△}{\frac{b+c-a}{2}}$$\Rightarrow △=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times \frac{b+c-a}{2}\times \frac{a+c-b}{2}\times \frac{a+b-c}{2}}$

其他形式

海倫公式可改寫成以幂和表示：

$\begin{array}{cc}A& =\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\ \end{array}$Template:NoteTag

Template:HideH 將海倫公式略為變形，知

$16A^2=[(a+b)+c][(a+b)-c]\times [c+(a-b)][c-(a-b)]$

多次使用平方-{}-差公式，得

$\begin{array}{cc}16A^2& =[(a+b{)}^2-c^2]\times [c^2-(a-b{)}^2]\\ & =[2ab+(a^2+b^2-c^2)]\times [2ab-(a^2+b^2-c^2)]\\ & =(2ab{)}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2\\ & =4a^2{b}^2-(a^4+b^4+c^4+2a^2{b}^2-2b^2{c}^2-2a^2{c}^2)\\ & =(2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2a^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)\\ & =2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)\\ \end{array}$

等號兩邊開根號，再同除以4，得

$\begin{array}{cc}A& =\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\ \end{array}$

參見

• 婆罗摩笈多公式：海倫公式對圆内接四边形的推廣。

外部連結

• 海龍公式 1
• 海龍公式 2