婆羅摩笈多公式

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歐氏平面幾何中，婆羅摩笈多公式是用以計算圓內接四邊形的面積的公式，以印度數學家婆羅摩笈多之名命名。一般四邊形的面積公式請見布雷特施奈德公式。

基本形式

婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式，是圓內接四邊形面積計算。若圓內接四邊形的四邊長為a, b, c, d，則其面積為：

(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)

其中s為半周長：

s=a+b+c+d2

证明

圆内接四边形的面积 = △ADB的面积 + △BDC的面积

=12pqsin⁡A+12rssin⁡C.

但由于ABCD是圆内接四边形，因此∠DAB=180∘−∠DCB。故sin⁡A=sin⁡C。所以：

Area=12pqsin⁡A+12rssin⁡A
(Area)2=14sin2A(pq+rs)2
4(Area)2=(1−cos2A)(pq+rs)2
4(Area)2=(pq+rs)2−cos2A(pq+rs)2.

对△ADB和△BDC利用余弦定理，我们有：

DB2=p2+q2−2pqcos⁡A=r2+s2−2rscos⁡C.

代入cos⁡C=−cos⁡A（这是由于A和C是互补角），并整理，得：

2cos⁡A(pq+rs)=p2+q2−r2−s2.

把这个等式代入面积的公式中，得：

4(Area)2=(pq+rs)2−14(p2+q2−r2−s2)2
16(Area)2=4(pq+rs)2−(p2+q2−r2−s2)2,

它是a2−b2的形式，因此可以写成(a+b)(a−b)的形式：

(2(pq+rs)+p2+q2−r2−s2)(2(pq+rs)−p2−q2+r2+s2)
=[(p+q)2−(r−s)2][(r+s)2−(p−q)2]
=(p+q+r−s)(p+q+s−r)(p+r+s−q)(q+r+s−p).

引入T=p+q+r+s2，

16(Area)2=16(T−p)(T−q)(T−r)(T−s).

两边开平方，得：

Area=(T−p)(T−q)(T−r)(T−s).

证毕。

更特殊情況

若圓O的圆內接四邊形的四邊長為a, b, c, d，且外切于圆C，則其面積為：

abcd

证明

由于四边形内接于圆O，所以：

S=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)

其中p為半周長：

p=a+b+c+d2

又因为四边形外切圆C，所以：

a+c=b+d

则：

p−a=b+c+d−a2=a+c+c−a2=c

同理:

p−b=d， p−c=a， p−d=b

综上：

S=abcd

证毕。

一般情況

布雷特施奈德公式

對一般四邊形的面積有布雷特施奈德公式，其敘述如下：

(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)−abcdcos2θ

其中 θ 是四邊形一對對角和的一半。

注意到不論取到哪一對對角 cos2θ 的值都一樣，因為四邊形的內角和是 2π，故如果選取到的是另一對角，其對角和的一半是 π−θ。而 cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ，所以有 cos2(π−θ)=cos2θ。

假設此時四邊形恰好四頂點共圓，由於圓內接四邊形的對角和為 π，因此 θ=π2，而且由 cos⁡π2=0，可推得此時 abcdcos2θ=0，布雷特施奈德公式恰好退化回婆羅摩笈多公式。

柯立芝公式

另一個由柯立芝所證明的公式如下[1]：

K=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−14(ac+bd+pq)(ac+bd−pq)

其中p及q為四邊形對角線之長。在圓內接四邊形中，根據托勒密定理我們有pq=ac+bd，此公式退化回為婆羅摩笈多公式。

相關定理

海倫公式給出三角形的面積。它是婆羅摩笈多公式取d=0的特殊情形。

婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式，就像由勾股定理擴充至餘弦定理一般。

  1. ↑ J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.
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