泊松方程

Template:NoteTA Template:Refimprove 泊松方程（Template:Lang-fr）是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程式，因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。

方程的叙述

泊松方程式為

$\mathrm{\Delta }\phi =f$

在這裡$\mathrm{\Delta }$代表的是拉普拉斯算子，而$f$和$\phi$可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為${\mathrm{\nabla }}^2$，因此泊松方程通常寫成

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =f$

在三維直角坐標系，可以寫成

$(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})\phi (x,y,z)=f(x,y,z).$

如果有$f(x,y,z)$恒等于0，這個方程式就會變成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

$\mathrm{\Delta }\phi =0.$

泊松方程可以用格林函數來求解；如何利用格林函數來解泊松方程可以參考Template:Tsl。現在也发展出很多種數值解，如Template:Le（一种迭代法）。

数学表达

通常泊松方程式表示为

$-\mathrm{\Delta }\phi =f$

这里$\mathrm{\Delta }$代表拉普拉斯算子，$f$为已知函数，而$\phi$为未知函数。当$f=0$ 时，这个方程被称为拉普拉斯方程。

为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:

$\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\Delta }\phi =f& \text{in}\mathrm{\Omega }\\ \phi =g& \text{auf}\partial \mathrm{\Omega }\end{array}$

其中 $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ 为有界开集。

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:

$\mathrm{\Phi }(x)=\{\begin{array}{cc}-\frac{1}{2\pi }\ln |x|& n=2\\ \frac{1}{n(n-2){\omega }_n}\frac{1}{|x{|}^{n-2}}& n\ge 3\end{array}$

其中${\omega }_n$为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积$(\mathrm{\Phi }*f)$得到 $-\mathrm{\Delta }\phi =f$的解。

为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数

$G(x,y)=\mathrm{\Phi }(y-x)-{\varphi }^x(y)$

${\varphi }^x$ 为一个校正函数，它满足

$\{\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }{\varphi }^x=0& \text{in}\mathrm{\Omega }\\ {\varphi }^x=\mathrm{\Phi }(y-x)& \text{auf}\partial \mathrm{\Omega }\end{array}$

通常情况下${\varphi }^x$是依赖于$\mathrm{\Omega }$。

通过 $G(x,y)$可以给出上述边界条件的解

$u(x)=-\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }g(y)\frac{\partial G}{\partial \nu }(x,y)\mathrm{d}\sigma (y)+\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(y)G(x,y)\mathrm{d}y$

其中$\sigma$ 表示$\partial \mathrm{\Omega }$上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。

靜電學

在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電位的問題。在國際單位制（SI）中：

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$

此$\mathrm{\Phi }$代表電勢（單位為伏特），$\rho$是體電荷密度（單位為庫侖/立方公尺），而${ϵ}_0$是真空電容率（單位為法拉/公尺）。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子，則

$\rho =0,$

此方程式就變成拉普拉斯方程：

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=0.$

高斯電荷分佈的電場

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度 $\rho (r)$：

$\rho (r)=\frac{Q}{{\sigma }^3{\sqrt{2\pi }}^3}{e}^{-r^2/(2{\sigma }^2)},$

此處，Q代表總電荷

此泊松方程式：${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$ 的解Φ(r)則為

$\mathrm{\Phi }(r)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q}{r}\text{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma }\right)$

erf(x)代表的是误差函数.

注意：如果r遠大於σ，erf(x)趨近於1，而電場Φ(r)趨近點電荷電場 $\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q}{r}$；正如我們所預期的。

參閱

• Template:Le
• 泊松-玻尔兹曼方程
• Template:Le

参考文献

来源

• Poisson Equation Template:Wayback at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

外部链接

• Template:Springer
• Poisson's equation Template:Wayback on PlanetMath.