柯西-歐拉方程

Template:微積分學 柯西-尤拉方程是形式如 $x^{2} y^{″} + b x y^{'} + c y = 0$ （其中 $b, c$ 是常數）的二階變係數常微分方程。

解法

觀察可知 $y = x^{r}$ 是一個特定解：

0 = x^{2} y^{″} + b x y^{'} + c y

= x^{2} r (r - 1) x^{r - 2} + b x r x^{r - 1} + c x^{r}

= (r^{2} + (b - 1) r + c) x^{r}

因為 $x^{r} = 0$ 若且唯若 $x = 0$ ，所以要考慮二次方程 $r^{2} + (b - 1) r + c = 0$ 的解。

r = \frac{1}{2} (1 - b \pm \sqrt{b^{2} - 2 b - 4 c + 1}) .

設 $p, q$ 為二次方程的解。若 $p, q$ 不相等， $y$ 的一般解則為 $y = A x^{p} + B x^{q}$ 。

若 $p = q = (1 - b) / 2$ ，其中一個特定解為 $x^{r} \ln x$ ：

x^{2} (x^{r} \ln x)^{″} + b x (x^{r} \ln x)^{'} + c x^{r} \ln x

= x^{r} (\ln x (r^{2} + (b - 1) r + c) + 2 r + b - 1)

代入 $r = (1 - b) / 2$ 便知右方括號內等於0。因此核實 $x^{r} \ln x$ 是一個特定解。

於是，便有兩個線性獨立解，繼而可得： $y = A x^{r} + B x^{r} \ln x$ 。