有界算子

在泛函分析此一數學分支裡，有界線性算子是指在賦範向量空間X 及Y 之間的一種線性變換L，使得對所有X 內的非零向量v，L(v) 的範數與v 的範數間的比值會侷限在相同的數字內。亦即，存在一些M > 0，使得對所有在X 內的v，

$\Vert Lv{\Vert }_Y\le M\Vert v{\Vert }_X.$

其中最小的M 稱為L 的算子范数。$\Vert L{\Vert }_{\mathrm{o}\mathrm{p}}$。

有界線性算子一般不會是有界函數；後者需要對所有的v，L(v)的範數是有界的，但這只有在Y 為零向量空間時才有可能。然而，有界線性算符為局部有界函數。

一個線性算子為有界的，若且唯若其為連續的。因此有界线性算子也被称为连续线性算子。

例子

• 任何在兩個有限維度賦範空間之間線性算符皆是有界的，且此類算符可以被視為某些固定矩陣的乘積。
• 許多積分變換為有界線性算符。例如，設

$K:[a,b]\times [c,d]\to 𝐑$

為一連續函數，則算符L

$(Lf)(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)f(x)dx,$

（定義於由在$[a,b]$ 上的連續函數所組成的空間$C[a,b]$，賦予空間$C[c,d]$ 均勻範數的值）是有界的。此一算符實際上也是緊緻的。緊緻算符在有界算符中是很重要的一類。

• 拉普拉斯算符

$\mathrm{\Delta }:H^2({𝐑}^n)\to L^2({𝐑}^n)$

（其定義域為索伯列夫空間，值域在由平方可積函數所組成的空間內）是有界的。

• 在由所有實數序列(x₀, x₁, x₂...)（其中$x_0^2+x_1^2+x_2^2+\cdots <\mathrm{\infty },$）所組成的l² 空間上的位移算符

$L(x_0,x_1,x_2,\dots )=(0,x_0,x_1,x_2,\dots )$

是有界的。其算符範數可輕易地看出為1。

有界和連續的等價

如開頭所述，在賦範空間X 及Y間的線性算子L 是有界的，若且唯若其為連續線性算子。證明如下：

• 設L 是有界的，則對X內的所有向量v 及h（其中的h不為零），會有

$\Vert L(v+h)-Lv\Vert =\Vert Lh\Vert \le M\Vert h\Vert$。

令$ℎ$ 趨近於零，即可證明L 在v 是連續的。甚至，因為常數M 不依賴v，可證明L 實際上是均勻連續的（更甚之，還是利普希茨連續的）。

• 反過來，在零向量的連續性，允許存在一個$\delta >0$，使得對所有X 內$\Vert h\Vert \le \delta$ 的向量h，$\Vert L(h)\Vert =\Vert L(h)-L(0)\Vert \le 1$。因此，對所有'X 內的非零向量v，會有

$\Vert Lv\Vert =\Vert \frac{\Vert v\Vert }{\delta }L\left(\delta \frac{v}{\Vert v\Vert }\right)\Vert =\frac{\Vert v\Vert }{\delta }\Vert L\left(\delta \frac{v}{\Vert v\Vert }\right)\Vert \le \frac{\Vert v\Vert }{\delta }\cdot 1=\frac{1}{\delta }\Vert v\Vert .$

這證明了L 是有界的。

參考資料

• Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989

参见

• 算子代数
• 算子理论