利普希茨連續

在數學中，特別是實分析，利普希茨連續（Template:Lang）以德國數學家魯道夫·利普希茨命名，是一個比一致連續更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函數限制了函數改變的速度，符合利普希茨條件的函數的斜率的绝对值，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。

在微分方程，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。

利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。

定義

对于利普希茨连续函数，存在一个双圆锥(白色)其顶点可以沿着曲线平移，使得曲线总是完全在这两个圆锥外。

對於在實數集的子集的函數$f:D\subseteq ℝ\to ℝ$ ，若存在常數$K$，使得$|f(a)-f(b)|\le K|a-b|\mathrm{\forall }a,b\in D$，則稱$f$ 符合利普希茨條件，對於$f$ 最小的常數$K$ 稱為 $f$ 的利普希茨常數。

若$K<1$，$f$ 稱為收縮映射。

利普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義：

給定兩個度量空間$(M,d_M),(N,d_N)$，$U\subseteq M$。若對於函數$f:U\to N$，存在常數$K$ 使得

$d_N(f(a),f(b))\le K{d}_M(a,b)\mathrm{\forall }a,b\in U$

則說它符合利普希茨條件。

若存在$K\ge 1$使得

$\frac{1}{K}{d}_M(a,b)\le d_N(f(a),f(b))\le K{d}_M(a,b)\mathrm{\forall }a,b\in U$

則稱$f$為双李普希茨(bi-Lipschitz)的。

皮卡-林德洛夫定理

若已知$y(t)$有界，$f$符合利普希茨條件，則微分方程初值問題$y^{\prime }(t)=f(t,y(t)),y(t_0)=y_0$剛好有一個解。

在應用上，$t$通常屬於一有界閉區間（如$[0,2\pi ]$）。於是$y(t)$必有界，故$y$有唯一解。

例子

• $f:[-3,7]\to ℝ,f(x)=x^2$符合利普希茨條件，$K=4$。
• $f:ℝ\to ℝ,f(x)=x^2$不符合利普希茨條件，當$x\to \mathrm{\infty },f^{\prime }(x)\to \mathrm{\infty }$。
• 定義在所有實數值的$f(x)=\sqrt{x^2+5}$符合利普希茨條件，$K=1$。
• $f(x)=|x|$符合利普希茨條件，$K=1$。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
• $f:[0,1]\to [0,1],f(x)=\sqrt{x}$不符合利普希茨條件，$x\to 0,f^{\prime }(x)\to \mathrm{\infty }$。不過，它符合赫爾德條件。
• 若且唯若處處可微函數f的一次導函數有界，$f$符合利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有$C^1$函數都是局部利普希茨的，因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。

性質

• 符合利普希茨條件的函數連續，实际上一致連續。
• 双李普希茨(bi-Lipschitz)函數是單射。
• Rademacher定理：若$A\subseteq {ℝ}^n$且$A$為開集，$f:A^{″}\to {ℝ}^n$符利普希茨條件，則$f$幾乎處處可微。
• Kirszbraun定理：給定兩個希爾伯特空間$H_1,H_2$，$U\in H_1$，$f:U\to H_1$符合利普希茨條件，則存在符合利普希茨條件的$F:H_1\to H_2$，使得$F$的利普希茨常數和$f$的相同，且$F(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in U$。