拉东-尼科迪姆定理

Template:RoughTranslation 拉东-尼科迪姆定理是数学中测度论里的一个结果。拉东-尼科迪姆定理说明了在给定了一个测度空间$(X,\mathrm{\Sigma })$的时候，如果测度空间$(X,\mathrm{\Sigma })$上的一个σ-有限测度$\nu$关于另一个σ-有限测度$\mu$绝对连续，那么存在一个在$X$上可测的函数$f$，其取值范围为非负实数（$[0,\mathrm{\infty })$），并且对所有的可测集合$A$，都有：

$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu$

这个定理得名于数学家约翰·拉东以及Template:Link-en。拉东在1913年证明了这个定理在背景空间为$R^N$时的情况；尼科迪姆则在1930年证明了定理的一般情形。1936年，Template:Link-en将这个定理推广，证明了里斯空间理论中的弗洛依登萨谱定理。拉东·尼科迪姆定理是后者的一个特例。

拉东-尼科迪姆导数是

$f=\frac{d\nu }{d\mu }$

属性

Bermudez et al. (2025) 标准化了以下属性的证明。

• $\lambda$几乎处处：$$\frac{d(\nu +\mu )}{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\lambda }+\frac{d\mu }{d\lambda }.$$
• 若 ν ≪ μ ≪ λ, 则 $\lambda$几乎处处：$$\frac{d\nu }{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\mu }\frac{d\mu }{d\lambda }.$$
• 若 μ ≪ ν 以及 ν ≪ μ, 则 $\nu$几乎处处：$$\frac{d\mu }{d\nu }={\left(\frac{d\nu }{d\mu }\right)}^{-1}.$$
• 若 μ ≪ λ 则 $$\underset{X}{\int }gd\mu =\underset{X}{\int }g\frac{d\mu }{d\lambda }d\lambda .$$
• $$\frac{d|\nu |}{d\mu }=\left|\frac{d\nu }{d\mu }\right|.$$