外尔方程式

在量子力學及量子場論等領域，外尔方程式（Template:Lang-en）為一相對論量子力學的波動方程式，用以描述無質量的自旋½粒子。其以德國數學家赫尔曼·外尔為名。

方程式

外尔方程式的廣義形式可寫為：

${\sigma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi =0$

在SI單位中可寫為：

$I_2\frac{1}{c}\frac{\partial \psi }{\partial t}+{\sigma }_x\frac{\partial \psi }{\partial x}+{\sigma }_y\frac{\partial \psi }{\partial y}+{\sigma }_z\frac{\partial \psi }{\partial z}=0$

其中

${\sigma }_{\mu }=({\sigma }_0,{\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)=(I_2,{\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$

為一向量。μ = 0分量為2 × 2 單位矩陣；μ = 1,2,3分量為包立矩陣。ψ則是波函數，為外尔旋量一例。

外尔旋量

其組成有ψ_L與ψ_R，分別為左手（Left-handed）外尔旋量及右手（Right-handed）外尔旋量，各自有兩個分量。兩者皆有下列形式：

$\psi =\left(\begin{array}{c}{\psi }_1\\ {\psi }_2\end{array}\right)=\chi e^{-i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}=\chi e^{-i(𝐩\cdot 𝐫-Et)/\hslash }$

其中

$\chi =\left(\begin{array}{c}{\chi }_1\\ {\chi }_2\end{array}\right)$

為具有二常數分量之旋量。

既然粒子是不具質量的，亦即m = 0，動量p的範數為波向量k的簡單乘積，由德布羅伊關係所描述：

$|𝐩|=\hslash |𝐤|=\hslash \omega /c\to |𝐤|=\omega /c$

方程式可以左手及右手旋量來表示：

$\begin{array}{cc}& {\sigma }^{\mu }{\partial }_{\mu }{\psi }_R=0\\ & {\overline{\sigma }}^{\mu }{\partial }_{\mu }{\psi }_L=0\end{array}$

推演

透過拉格朗日密度可得方程式：

$ℒ=i{\psi }_R^{†}{\sigma }^{\mu }{\partial }_{\mu }{\psi }_R$

$ℒ=i{\psi }_L^{†}{\overline{\sigma }}^{\mu }{\partial }_{\mu }{\psi }_L$

將旋量及旋量的埃爾米特伴隨（以$†$標記）當作獨立變數處理，則可得外尔方程式。

相關條目

• 狄拉克方程式（描述帶質量的自旋½粒子）
• 角動量算符
• 動量算符
• 自旋

延伸閱讀

• Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
• Particle Physics (2nd Edition), B.R. Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-03294-7
• Supersymmetry P. Labelle, Demystified, McGraw-Hill (USA), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4
• The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

外部連結

• Template:EnThe Primacy of The Weyl Equation
• Template:EnDirac-Weyl equation，石墨烯例子。
• Template:EnWEYL SPINORS AND DIRACíS ELECTRON EQUATION