单位阶跃函数

單位階躍函數，又称赫维赛德阶跃函数，通常用 Template:Mvar 或 Template:Mvar 表记，有时也会用 Template:Mvar、Template:Math 或 Template:Math 表记，是一个由奥利弗·亥维赛提出的阶跃函数，参数为负时值为0，参数为正时值为1。

分段函数形式的定義如下：

$H[n]=\{\begin{array}{cc}0,& n<0,\\ 1,& n\ge 0,\end{array}$

另一种定义为：

$H(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ \frac{1}{2},& x=0\\ 1,& x>0\end{array}$

或

$H(x)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{sgn}(x))$

它是個不連續函數，其微分是狄拉克δ函數。它是一個幾乎必然是零的隨機變數的累積分布函數。

事實上，$x=0$的值在函數應用上並不重要，可以任意取。

連續函數逼近

• $H(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-2kx}}$

有許多可以以解析方式近似的函數，以下是二個例子：

• $H(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan (kx)$
• $H(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{erf}(kx)$

積分表示

$\begin{array}{cc}H(x)& =\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }-\frac{1}{2\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\tau +i\epsilon }{e}^{-ix\tau }d\tau \\ & =\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\tau -i\epsilon }{e}^{ix\tau }d\tau .\end{array}$

参见

• 狄拉克δ函数
• 数学函数列表
• 拉普拉斯变换
• 负数
• 矩形函数
• 符号函数
• 阶梯响应