矩形函数

矩形函数

矩形函数的定义为，

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=\mathrm{\Pi }(t)=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }|t|>\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \text{if }|t|=\frac{1}{2}\\ 1& \text{if }|t|<\frac{1}{2}\end{array}$

也可以将它定义为 $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\pm 1/2)$ 的值为 0、1 或者未定义的值，另外也可以用 单位阶跃函数 $u(t)$ 来定义：

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{t}{\tau }\right)=u(t+\frac{\tau }{2})-u(t-\frac{\tau }{2})$

或者，

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=u(t+\frac{1}{2})-u(t-\frac{1}{2})$

矩形函数归一化：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)dt=1$

矩形函数的傅立叶变换，

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt=\frac{\sin (\pi f)}{\pi f}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(f)$

或用用归一化Sinc函数表示为：

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{\omega }{2}\right)$,

我们可以将三角形函数定义为两个矩形函数的卷积：

$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}(t)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)*\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)$

如果将矩形函数当作一个概率分布函数，那么它的特征函数是，

$\phi (k)=\frac{\sin (k/2)}{k/2}$

并且它的动差生成函数为，

$M(k)=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(k/2)}{k/2}$

其中 $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(t)$ 是双曲正弦函数。

参见

• 傅立叶变换
• 方波
• 三角形函数