升餘弦濾波器

升餘弦濾波器是一種經常用於數位調變的Template:Le濾波器，它能夠最大限度地減少Template:Le（ISI）。之所以會如此命名是因為，該濾波器的最簡形式頻譜（$\beta =1$）的非零部分為餘弦函數，且被「抬升」至水平軸$f$上方。

數學描述

升餘弦濾波器在各種滾降係數下的頻率響應

升餘弦濾波器在各種滾降係數下的脈衝響應

升餘弦濾波器是一種低通Template:Le的實作，即具有殘對稱性的濾波器，這表示它的頻譜呈現约$\frac{1}{2T}$的奇對稱，$T$是通訊系统的符元週期。

其頻域描述為分段定義传递函数，由下式給出：

$H(f)=\{\begin{array}{cc}1,& |f|\le \frac{1-\beta }{2T}\\ \frac{1}{2}[1+\cos \left(\frac{\pi T}{\beta }[|f|-\frac{1-\beta }{2T}]\right)],& \frac{1-\beta }{2T}<|f|\le \frac{1+\beta }{2T}\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

或以餘的半正矢表示：

$H(f)=\{\begin{array}{cc}1,& |f|\le \frac{1-\beta }{2T}\\ \mathrm{hvc}\left(\frac{\pi T}{\beta }[|f|-\frac{1-\beta }{2T}]\right),& \frac{1-\beta }{2T}<|f|\le \frac{1+\beta }{2T}\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

$0\le \beta \le 1$

以兩個值為特徵；滾降係數 $\beta$ 和符元率的倒數$T$ 。

這種濾波器的脈衝響應由下式给出：

$h(t)=\{\begin{array}{cc}\frac{\pi }{4T}\mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\beta }\right),& t=\pm \frac{T}{2\beta }\\ \frac{1}{T}\mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos \left(\frac{\pi \beta t}{T}\right)}{1-{\left(\frac{2\beta t}{T}\right)}^2},& \text{otherwise}\end{array}$

以歸一化的sinc函數表示。這裡使用的是通訊領域的定義$\sin (\pi x)/(\pi x)$，而非數學領域所用的定義。

滾降係數

Template:Le係數$\beta$是對濾波器带宽過量（excess bandwidth）的度量，即所佔带宽超過奈奎斯特頻寬$\frac{1}{2T}$的部分，有些作者會使用$\alpha$ 表示.

若我們將多餘的頻寬表示為$\mathrm{\Delta }f$ ，則：

$\beta =\frac{\mathrm{\Delta }f}{\left(\frac{1}{2T}\right)}=\frac{\mathrm{\Delta }f}{R_S/2}=2T\mathrm{\Delta }f$

$R_S=\frac{1}{T}$是符元率。

該圖顯示為$\beta$在0和1之間變化的振幅響應，以及對脈衝響應的相應作用。可以看出，時域的漣波準位會隨著$\beta$減少而增加，這可以減少濾波器的頻寛過量，但只能以伸長脈衝響應為代價。

$\beta =0$

當$\beta$靠近0時，滾降區變得無限窄，因此：

$\underset{\beta \to 0}{\lim }H(f)=\mathrm{rect}(fT)$

$\mathrm{rect}(\cdot )$是矩形函數，所以脈衝響應會趨近$h(t)=\frac{1}{T}\mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)$ .因此，在這種情況下，它會收斂到理想或磚牆濾波器。

$\beta =1$

當$\beta =1$ ，頻譜的非零部分是純粹的升餘弦，可化簡為：

$H(f){|}_{\beta =1}=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}[1+\cos \left(\pi fT\right)],& |f|\le \frac{1}{T}\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

或

$H(f){|}_{\beta =1}=\{\begin{array}{cc}\mathrm{hvc}\left(\pi fT\right),& |f|\le \frac{1}{T}\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

頻寬

升餘弦濾波器的頻寬通常定義為其頻譜的非零正頻率部分的寬度，即：

$BW=\frac{R_S}{2}(\beta +1),(0<\beta <1)$

自相關函數

升餘弦函數的自相關函數如下：

$R\left(\tau \right)=T[\mathrm{sinc}\left(\frac{\tau }{T}\right)\frac{\cos \left(\beta \frac{\pi \tau }{T}\right)}{1-{\left(\frac{2\beta \tau }{T}\right)}^2}-\frac{\beta }{4}\mathrm{sinc}\left(\beta \frac{\tau }{T}\right)\frac{\cos \left(\frac{\pi \tau }{T}\right)}{1-{\left(\frac{\beta \tau }{T}\right)}^2}]$

自相關分析可用於分析各種取樣偏移量結果。

應用

連續升餘弦脈衝，顯示零ISI特性

當用於過濾符元流時，奈奎斯特濾波器具有消除 ISI 的特性，因為除了$n=0$ 的情形之外，所有$nT$ （$n$是整數）的脈衝響應都是零。

因此，如果傳輸的波形在接收端被正確採樣，原本的符元值就可以完全恢復。

然而，在許多實際的通訊系統，由於受白雜訊之影響，會在接收器中使用匹配濾波器。對於零 ISI，發射和接收濾波器的淨響應必須等於$H(f)$ ：

$H_R(f)\cdot H_T(f)=H(f)$

因此：

$|H_R(f)|=|H_T(f)|=\sqrt{|H(f)|}$

這些濾波器稱為Template:Le。

升餘弦是一種常用於Template:Le的變跡濾波器。

參考文獻

• Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. Template:ISBN.
• Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. Template:ISBNISBN 0-07-113814-5.
• Tavares, L.M.; Tavares G.N. (1998) Comments on "Performance of Asynchronous Band-Limited DS/SSMA Systems" . IEICE Trans. Commun., Vol. E81-B, No. 9

外部連結

• Technical article entitled "The care and feeding of digital, pulse-shaping filters" Template:Wayback originally published in RF Design, written by Ken Gentile.