匹配濾波器

Template:Cleanup-jargon Template:Unreferenced Template:NoteTA 在信號處理中，匹配濾波器可以用來解調基頻帶脈波信號，基頻帶脈波信號意指信號內容為同一波形信號乘上一個常數，在每個周期出現，每個周期中代表著或多或少的資訊量。匹配濾波器解調出來的結果其SNR (Signal Noise Ratio)為最大的，匹配濾波器需要事先知道

1.傳送的訊號

2.訊號的同步

才能解調出傳送的信號。

此外，匹配濾波器也可用於模式識別 、相似度測試（similarity measure）。

最高SNR證明

假設 g(t)：傳送訊號

w(t)：可加性高斯白雜訊

x(t) = g(t) + w(t)

h(t)：未知波形

y(t)：解調結果

$1.x(t)=g(t)+w(t)$

$2.y(t)=[g(t)+w(t)]\ast h(t)$　

$=g(t)\ast h(t)+w(t)\ast h(t)$

$=G(t)+N(t)$

$3.SNR=|G(T){|}^2/E[N^2(T)]|$

SNR = 信號瞬間功率 / 噪声平均功率

信號瞬間功率

$|G(T){|}^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}H(f)G(f)e^{j2\pi fT}df$

雜訊平均功率

$E[N^2(T)]=\frac{N_0}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|H(f){|}^{2}df$

$SNR=\frac{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}H(f)G(f)e^{j2\pi fT}df}{\frac{N_0}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|H(f){|}^{2}df}$

$\le \frac{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|H(f){|}^2{e}^{j2\pi fT}df\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|G(f)e^{j2\pi fT}{|}^{2}df}{\frac{N_0}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|H(f){|}^{2}df}$

$=\frac{2}{N_0}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|G(f){|}^{2}df$

4. 當

$H_{opt}(f)=k[G(f)e^{j2\pi fT}{]}^{*}$ , $SN{R}_{max}=\frac{2}{N_0}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|G(f){|}^{2}df$

所以

$h_{opt}(t)=k\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}G(-f)e^{-j2\pi fT}{e}^{j2\pi ft}df$

$=k\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}G(z)e^{-j2\pi f(T-t)}dz$

$=kg(T-t)$

(備註) 柯西-施瓦茨不等式

若

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|A(x){|}^{2}dx<\mathrm{\infty }$ 且 $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|B(x){|}^{2}dx<\mathrm{\infty }$

則

$|\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(x)B(x)dx{|}^2\le \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|A(x){|}^{2}dx\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|B(x){|}^{2}dx$

當 $A=k{B}^{*}$時，等號成立。

匹配濾波器頻率響應

$x=s+v,$

$R_v=E\{v{v}^{\mathrm{H}}\}.$

$\mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R}=\frac{|y_s{|}^2}{E\{|y_v{|}^2\}}.$

$|y_s{|}^2={y_s}^{\mathrm{H}}{y}_s=h^{\mathrm{H}}s{s}^{\mathrm{H}}h.$

$E\{|y_v{|}^2\}=E\{{y_v}^{\mathrm{H}}{y}_v\}=E\{h^{\mathrm{H}}v{v}^{\mathrm{H}}h\}=h^{\mathrm{H}}{R}_{v}h.$

$\mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R}=\frac{h^{\mathrm{H}}s{s}^{\mathrm{H}}h}{h^{\mathrm{H}}{R}_{v}h}.$

如果我們限制分母為1, 最大化 $\mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R}$ 的問題可以被簡化為最大化分子.

於是可以使用 拉格朗乘數

$h^{\mathrm{H}}{R}_{v}h=1$

$ℒ=h^{\mathrm{H}}s{s}^{\mathrm{H}}h+\lambda (1-h^{\mathrm{H}}{R}_{v}h)$

${\mathrm{\nabla }}_{h^{*}}ℒ=s{s}^{\mathrm{H}}h-\lambda R_{v}h=0$

$(s{s}^{\mathrm{H}})h=\lambda R_{v}h$

$h^{\mathrm{H}}(s{s}^{\mathrm{H}})h=\lambda h^{\mathrm{H}}{R}_{v}h.$

因為 $s{s}^{\mathrm{H}}$ 是一維, 他只有一個非零特徵值. 此特徵值=

${\lambda }_{\max }=s^{\mathrm{H}}{R}_v^{-1}s,$

$h=\frac{1}{\sqrt{s^{\mathrm{H}}{R}_v^{-1}s}}{R}_v^{-1}s.$

匹配濾波器模式辨識

若欲偵測一特定信號 h[n]，我們可以將h[n]時域反向並取共軛，當做濾波器。

一維信號

$y[n]=x[n]*h^{*}[-n]=\sum _{\tau ={\tau }_1}^{{\tau }_2}x[n-\tau ]h^{*}[-\tau ]=\sum _{\tau ={\tau }_1}^{{\tau }_2}x[n+\tau ]h^{*}[\tau ]$

x[n] :數入信號 ，h[n]：欲偵測的特定信號，且假設當${\tau }_1\le n\le {\tau }_2$ 時， h[n]≠0

二維信號

$y[m,n]=x[m,n]*h^{*}[-m,-n]=\sum _{\tau ={\tau }_1}^{{\tau }_2}\sum _{\rho ={\rho }_1}^{{\rho }_2}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{*}[\tau ,\rho ]$

假設當${\tau }_1\le m\le {\tau }_2,{\rho }_1\le m\le {\rho }_2$時， h[m,n]≠0

模擬結果：

未標準化而造成的計算誤差 y[n] = x[n]*h*[-n]

但由於卷積是線性的，當信號能量大，算出來的值也會跟著變大而有誤差，因此我們需要標準化。

標準化公式

一維信號

當 $\sum _{s=n+{\tau }_1}^{n+{\tau }_2}|x[s]{|}^2$ ≠0

$y[n]=$$\frac{\sum _{\tau ={\tau }_1}^{{\tau }_2}x[n+\tau ]h^{*}[\tau ]}{\sqrt{\sum _{s=n+{\tau }_1}^{n+{\tau }_2}|x[s]{|}^2\sum _{s={\tau }_1}^{{\tau }_2}|h[s]{|}^2}}$

當 $\sum _{s=n+{\tau }_1}^{n+{\tau }_2}|x[s]{|}^2$ =0

$y[n]=0$

二維信號

當 $\sum _{s=m+{\tau }_1}^{m+{\tau }_2}\sum _{v=n+{\rho }_1}^{n+{\rho }_2}|x[s,v]{|}^2$ ≠0

$y[m,n]=$$\frac{\sum _{\tau ={\tau }_1}^{{\tau }_2}\sum _{\rho ={\rho }_1}^{{\rho }_2}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{*}[\tau ,\rho ]}{\sqrt{\sum _{s=m+{\tau }_1}^{m+{\tau }_2}\sum _{v=n+{\rho }_1}^{n+{\rho }_2}|x[s,v]{|}^2\sum _{s={\tau }_1}^{{\tau }_2}\sum _{v={\rho }_1}^{{\rho }_2}|h[s,v]{|}^2}}$

當 $\sum _{s=m+{\tau }_1}^{m+{\tau }_2}\sum _{v=n+{\rho }_1}^{n+{\rho }_2}|x[s,v]{|}^2$ = 0

$y[m,n]=0$

標準化後的模擬結果：

標準化後可減少計算誤差

參考文獻

1. Template:Cite book
2. Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.

參見

• 霍夫變換
• 拉東變換
• 週期圖法
• 疊代稀疏漸近最小方差算法