濾波器

濾波器可以指：

• 電子濾波器，專門用於去除信號中不想要的成分或者增強所需成分的電子裝置。
• 一種能過濾特定頻率訊號的器材，可以將訊號中某個頻率範圍的組成泛音去掉。有以下應用元件：
  • 低通滤波器：容許低頻信號通過，但減弱（或減少）頻率高於截止頻率的信號通過。用在繪製長期走勢或均化。
  • 高通滤波器：容許高頻信號通過、但減弱（或減少）頻率低於截止頻率的信號通過。強調細節。
  • 带通滤波器：高通濾波器與低通濾波器的組合。
  • 带阻滤波器：指能通過大多數頻率分量、但將某些範圍的頻率分量衰減到極低水準的濾波器
  • 全通滤波器：產生時延效果，不會有梳狀濾波器的共振。
  • 原子线滤波器：利用原子蒸氣共振過濾電磁波的超窄帶濾波器。
• 機械濾波器

均衡器(Equalizer)

• 均衡器是常見的濾波器，可以將失真的訊號恢復成原始訊號、補償如多路徑問題引起的失真訊號

• 假設接收到的訊號$y[n]=x[n]*k[n]$，其中$x[n]$是原始訊號，$k[n]$是系統的影響，表示系統對訊號的影響，例如模糊系統$k[n]=c*exp(-\sigma n^2)$

均衡器$h[n]$將收到的訊號還原，$x[n]=y[n]*h[n]$，在頻率域的均衡器$H(F)=\frac{1}{K(F)}$

當系統同時受到噪音$m[n]$干擾時，接收到的訊號:$y[n]=x[n]*k[n]+m[n]$

經過傅立葉轉換$Y(F)=X(F)K(F)+M(F)$

透過均衡器後$H(F)Y(F)=X(F)H(F)K(F)+H(F)M(F)=X(F)+\frac{M(F)}{K(F)}$

當如果系統影響$K(F)$過小趨近於零，會導致噪音的影響非常大，因此修改均衡器的設計結合Wiener filter，均衡器公式如下

$H(F)=\frac{1}{\frac{1}{K^{*}(F)}\frac{E(|M(F){|}^2)}{E(|X(F){|}^2)}+K(F)}$，其中$E$是mean

$H(F)=\frac{1}{\frac{c}{K^{*}(F)}+K(F)}$，其中$c=\frac{1}{SNR}$，$SNR$是訊號雜訊比(signal-to-noise ratio)

• 訊號傳遞有另一種情況是發射端與接受端之間有多條的傳遞路徑(multiple path problem)

$k[n]={\alpha }_1\delta [n-{\tau }_1]+{\alpha }_2\delta [n-{\tau }_2]+{\alpha }_3\delta [n-{\tau }_3]+...$

$y[n]=x[n]*k[n]={\alpha }_{1}x[n-{\tau }_1]+{\alpha }_{2}x[n-{\tau }_2]+{\alpha }_{3}x[n-{\tau }_3]+...$

使用Z轉換，$Y[Z]=({\alpha }_1{Z}^{-{\tau }_1}+{\alpha }_2{Z}^{-{\tau }_2}+{\alpha }_3{Z}^{-{\tau }_3}+...)X[Z]$

在這個情況下均衡器$H(Z)=\frac{1}{{\alpha }_1{z}^{-{\tau }_1}+{\alpha }_2{z}^{-{\tau }_2}+{\alpha }_3{z}^{-{\tau }_3}+...}$

但${\tau }_i,{\alpha }_i$在實際應用上不容易估計且在通訊系統上會隨環境以及其他因素改變，另外當$H(Z)$的分母為零會使得均衡器不穩定，因此通常會使用homomorphic signal processing取代均衡器以利處理多路徑的問題。