傑恩斯-卡明斯模型

傑恩斯-卡明斯模型。圓圈內展示了光子的發射與吸收

傑恩斯-卡明斯模型（Jaynes–Cummings model (JCM)）是一個量子光學的理论模型。 這是一個描述雙態系統和量化光腔(optical cavity)交互作用的模型，這種交互作用和光子的存在與否無關(在电磁辐射能造成光子自發性的放射與吸收)。它主要被運用在原子物理學、量子光學、固態量子信息電路的理論與實驗上。

公式

系统哈密頓量

$\hat{H}={\hat{H}}_{\text{field}}+{\hat{H}}_{\text{atom}}+{\hat{H}}_{\text{int}}$

由自由場哈密頓量，原子激發態哈密頓量，JCM哈密頓量組成：

$\begin{array}{ccc}{\hat{H}}_{\text{field}}& =& \hslash {\omega }_c{\hat{a}}^{†}\hat{a}\\ {\hat{H}}_{\text{atom}}& =& \hslash {\omega }_a\frac{{\hat{\sigma }}_z}{2}\\ {\hat{H}}_{\text{int}}& =& \frac{\hslash \mathrm{\Omega }}{2}\hat{E}\hat{S}.\end{array}$

為方便起見，设真空場能量為 $0$.

其中：

• $\begin{array}{c}\hat{E}=\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\end{array}$場運算符，目的是把量化輻射場转化為玻色子的模型，另外雙態原子是能被三維布洛赫球面所描述的半自旋粒子
  • $\begin{array}{c}{\hat{a}}^{†}\end{array}$是玻色子的創生算符
  • $\begin{array}{c}\hat{a}\end{array}$ 是玻色子的湮滅算符

• $\begin{array}{c}\hat{S}={\hat{\sigma }}_{+}+{\hat{\sigma }}_{-}\end{array}$是原子耦合區的偏振運算符
• $\begin{array}{c}{\hat{\sigma }}_{+}=|e⟩⟨g|\end{array}$與$\begin{array}{c}{\hat{\sigma }}_{-}=|g⟩⟨e|\end{array}$ 是原子的階梯算符
• $\begin{array}{c}{\hat{\sigma }}_z=|e⟩⟨e|-|g⟩⟨g|\end{array}$ 是原子反轉運算符
• $\begin{array}{c}{\omega }_a\end{array}$是原子的躍遷頻率
• $\begin{array}{c}{\omega }_c\end{array}$ 是模型的角頻率

JCM哈密頓量

通過把薛丁格繪景轉換為相互作用繪景(又名旋轉框架(rotating frame)) ，使得$\begin{array}{c}{H}_0={\hat{H}}_{\text{field}}+{\hat{H}}_{\text{atom}}\end{array}$，可以得到：

${\hat{H}}_{\text{int}}(t)=\frac{\hslash \mathrm{\Omega }}{2}(\hat{a}{\hat{\sigma }}_{-}{e}^{-i({\omega }_c+{\omega }_a)t}+{\hat{a}}^{†}{\hat{\sigma }}_{+}{e}^{i({\omega }_c+{\omega }_a)t}+\hat{a}{\hat{\sigma }}_{+}{e}^{i(-{\omega }_c+{\omega }_a)t}+{\hat{a}}^{†}{\hat{\sigma }}_{-}{e}^{-i(-{\omega }_c+{\omega }_a)t}).$

這個哈密頓量同時包含了兩個部分：

• $\begin{array}{c}({\omega }_c+{\omega }_a)\end{array}$ 是快速震蕩，
• $\begin{array}{c}({\omega }_c-{\omega }_a)\end{array}$ 是慢速震蕩。

為了求解這個方程，簡化模型是再所難免的。注意到，當 $\begin{array}{c}|{\omega }_c-{\omega }_a|\ll {\omega }_c+{\omega }_a\end{array}$ 的時候，快速振盪的 “反向旋轉”項（也就是快速震蕩項）可被忽略，這被稱為旋波近似。再將之轉換回薛丁格繪景，JCM哈密頓量就變成了：

${\hat{H}}_{\text{JC}}=\hslash {\omega }_c{\hat{a}}^{†}\hat{a}+\hslash {\omega }_a\frac{{\hat{\sigma }}_z}{2}+\frac{\hslash \mathrm{\Omega }}{2}(\hat{a}{\hat{\sigma }}_{+}+{\hat{a}}^{†}{\hat{\sigma }}_{-}).$

其中，

• $\begin{array}{c}\hslash \mathrm{\Omega }/2=d({\omega }_a/\hslash V{ϵ}_0{)}^{1/2}\end{array}$是原子場的耦合常數，
• $\begin{array}{c}d\end{array}$是原子躍遷時刻，
• $\begin{array}{c}V\end{array}$是腔模的體積。

本徵態

一般情況下，將哈密頓量拆分為2部分有助於對其進行求解:

${\hat{H}}_{\text{JC}}={\hat{H}}_I+{\hat{H}}_{II},$

其中，

$\begin{array}{ccc}{\hat{H}}_I& =& \hslash {\omega }_c({\hat{a}}^{†}\hat{a}+\frac{{\hat{\sigma }}_z}{2})\\ {\hat{H}}_{II}& =& \hslash \delta \frac{{\hat{\sigma }}_z}{2}+\frac{\hslash \mathrm{\Omega }}{2}(\hat{a}{\hat{\sigma }}_{+}+{\hat{a}}^{†}{\hat{\sigma }}_{-})\end{array}$

$\begin{array}{c}\delta ={\omega }_a-{\omega }_c\end{array}$

稱之為場與雙態系統的失諧量（頻率）。

為了更好地求解哈密頓量，把

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\hat{H}}_I\end{array}\end{array}$

的本徵態轉換成張量積

$\begin{array}{c}|n,g⟩,|n,e⟩\end{array}$

（

$\begin{array}{c}n\in \mathbb{N}\end{array}$

，表示模型中輻射量子的數量。）

對位任意正整數n，狀態$\begin{array}{c}|{\psi }_{1n}⟩:=|n,e⟩\end{array}$ 與狀態$\begin{array}{c}|{\psi }_{2n}⟩:=|n+1,g⟩\end{array}$ 會退化為$\begin{array}{c}{\hat{H}}_I\end{array}$ ，$\begin{array}{c}{\hat{H}}_{\text{JC}}\end{array}$ 足以在子空間$\begin{array}{c}\text{span}\{|{\psi }_{1n}⟩,|{\psi }_{2n}⟩\}\end{array}$對角化。 $\begin{array}{c}{\hat{H}}_{\text{JC}}\end{array}$的元素屬於$\begin{array}{c}{H}_{ij}^{(n)}:=⟨{\psi }_{in}|{\hat{H}}_{\text{JC}}|{\psi }_{jn}⟩\end{array}$的子空間，表示為：

$H^{(n)}=\hslash \left(\begin{array}{cc}n{\omega }_c+\frac{{\omega }_a}{2}& \frac{\mathrm{\Omega }}{2}\sqrt{n+1}\\ \frac{\mathrm{\Omega }}{2}\sqrt{n+1}& (n+1){\omega }_c-\frac{{\omega }_a}{2}\end{array}\right)$

對於任意正整數n，能量本徵態$\begin{array}{c}{H}^{(n)}\end{array}$為：

$E_{\pm }(n)=\hslash {\omega }_c(n+\frac{1}{2})\pm \frac{1}{2}\hslash {\mathrm{\Omega }}_n(\delta ),$

其中，$\begin{array}{c}{\mathrm{\Omega }}_n(\delta )=\sqrt{{\delta }^2+{\mathrm{\Omega }}^2(n+1)}\end{array}$ 是拉比頻率特殊的失諧參數。

含能量本徵態 $\begin{array}{c}|n,\pm ⟩\end{array}$的特徵值是：

$|n,+⟩=\cos \left(\frac{{\alpha }_n}{2}\right)|{\psi }_{1n}⟩+\sin \left(\frac{{\alpha }_n}{2}\right)|{\psi }_{2n}⟩$

$|n,-⟩=-\sin \left(\frac{{\alpha }_n}{2}\right)|{\psi }_{1n}⟩+\cos \left(\frac{{\alpha }_n}{2}\right)|{\psi }_{2n}⟩$

其中，$\begin{array}{c}\mathrm{\angle }{\alpha }_n={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{\Omega }\sqrt{n+1}}{\delta }\right)\end{array}$

薛丁格繪景動量

為了得到動量的一般情況。 首先考慮一個場疊加態的初態 $\begin{array}{c}|{\psi }_{\text{field}}(0)⟩=\sum _n{C}_n|n⟩\end{array}$，若置一激發態原子于場內，則系統初態為：

$|{\psi }_{\text{tot}}(0)⟩=\sum _n{C}_n[\cos \left(\frac{{\alpha }_n}{2}\right)|n,+⟩-\sin \left(\frac{{\alpha }_n}{2}\right)|n,-⟩].$

其中 $\begin{array}{c}|n,\pm ⟩\end{array}$ 是該系統的定態, 含時狀態向量是：

$|{\psi }_{\text{tot}}(t)⟩=e^{-i{\hat{H}}_{\text{JC}}t/\hslash }|{\psi }_{\text{tot}}(0)⟩=\sum _n{C}_n[\cos \left(\frac{{\alpha }_n}{2}\right)|n,+⟩e^{-i{E}_{+}(n)t/\hslash }-\sin \left(\frac{{\alpha }_n}{2}\right)|n,-⟩e^{-i{E}_{-}(n)t/\hslash }],t>0$

相互作用繪景動量

可以直接通過海森堡記法（Heisenberg notation）來確定么正演化算符（unitary evolution operator） :

$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\hat{U}(t)& =e^{-i{\hat{H}}_{\text{JC}}t/\hslash }\\ & =\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i{\omega }_{c}t({\hat{a}}^{†}\hat{a}+\frac{1}{2})}(\cos t\sqrt{\hat{\phi }+g^2}-i\delta /2\frac{\sin t\sqrt{\hat{\phi }+g^2}}{\sqrt{\hat{\phi }+g^2}})& -ig{e}^{-i{\omega }_{c}t({\hat{a}}^{†}\hat{a}+\frac{1}{2})}\frac{\sin t\sqrt{\hat{\phi }+g^2}}{\sqrt{\hat{\phi }+g^2}}\hat{a}\\ -ig{e}^{-i{\omega }_{c}t({\hat{a}}^{†}\hat{a}-\frac{1}{2})}\frac{\sin t\sqrt{\hat{\phi }}}{\sqrt{\hat{\phi }}}{\hat{a}}^{†}& e^{-i{\omega }_{c}t({\hat{a}}^{†}\hat{a}-\frac{1}{2})}(\cos t\sqrt{\hat{\phi }}+i\delta /2\frac{\sin t\sqrt{\hat{\phi }}}{\sqrt{\hat{\phi }}})\end{array}\right)\end{array}\end{array}$

其中，定義算符$\hat{\phi }$為

$\hat{\phi }=g^2{\hat{a}}^{†}\hat{a}+{\delta }^2/4$

$\hat{U}$的么正(unitary )被恆等定義：

$\frac{\sin t\sqrt{\hat{\phi }+g^2}}{\sqrt{\hat{\phi }+g^2}}\hat{a}=\hat{a}\frac{\sin t\sqrt{\hat{\phi }}}{\sqrt{\hat{\phi }}},$

$\cos t\sqrt{\hat{\phi }+g^2}\hat{a}=\hat{a}\cos t\sqrt{\hat{\phi }},$

么正算符可以計算被密度矩陣$\hat{\rho }(t)$所描述的含時系統狀態的演變，么正算符包含了所有可觀測量。給定初態$\hat{\rho }(0)$，則有：

$\hat{\rho }(t)={\hat{U}}^{†}(t)\hat{\rho }(0)\hat{U}(t)$，

$⟨\hat{\mathrm{\Theta }}{⟩}_t=\text{Tr}[\hat{\rho }(t)\hat{\mathrm{\Theta }}]$ ，

其中，$\hat{\mathrm{\Theta }}$ 是表示可觀測量的算符。

量子震盪的崩塌和復興

原子反轉的量子震盪圖像（二次反比失諧參數 $\begin{array}{c}a=(\delta /(2g){)}^2=40\end{array}$， 其中$\delta$是失諧參數），基於 A.A. Karatsuba 和 E.A. Karatsuba 取得的基本公式。

參考文獻

• Serge Haroche, Jean-Michel Raimond: Exploring the Quantum: Atoms, Cavities, and Photons. Oxford University Press 2006, ISBN 978-0198509141

延伸閱讀

• C.C. Gerry and P.L. Knight (2005). Introductory Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
• M. O. Scully and M. S. Zubairy (1997), Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
• D. F. Walls and G. J. Milburn (1995), Quantum Optics, Springer-Verlag.