伯特蘭定理

約瑟·伯特蘭

在經典力學裏，伯特蘭定理闡明，只有兩種位勢$V$可以給出閉合軌道：

• 平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為

$V(r)=\frac{-k}{r}$。

• 徑向諧振子勢：

$V(r)=\frac{1}{2}k{r}^2$。

其中，$r$是徑向座標，$k$是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為閉合軌道。

1687年，物理学家艾薩克·牛頓在著作《自然哲學的數學原理》裏提出了萬有引力定律，解釋了行星繞著太陽的公轉为何遵守克卜勒定律。此后許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道時，可能會發生的狀況。其中一個問題為軌道是否仍舊閉合。但經過多年的探討亦無法給出合理的解答。直到1873年，法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理，才正確解析此問題。该定理對於經典天體力學研究非常重要，伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。

在現代物理學裏，理論物理學家發現由於廣義相對論效應，引力與距離不再成精確的平方反比關係，因此軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞著太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。

前論

所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道；這圓形軌道當然是閉合軌道；其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值；後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言，非連心力不會產生圓形的公轉軌道。

採用極坐標$(r,\theta )$，一個移動於連心勢$V(r)$的粒子，其拉格朗日量$ℒ$是

$ℒ=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{1}{2}m{r}^2{\dot{\theta }}^2-V(r)$。

其中，$m$是粒子質量，$\dot{r}$、$\dot{\theta }$分別表示$r$、$\theta$對於時間$t$的導數。

這粒子的拉格朗日方程式為

$m\ddot{r}-mr{\dot{\theta }}^2+\frac{dV}{dr}=0$、

$\frac{d}{dt}(m{r}^2\dot{\theta })=0$。

由於角坐標$\theta$顯性地跟拉格朗日量無關，$\theta$是個可略坐標，其共軛動量（角動量）$\ell$守恆，$\ell$是個常數：

$\ell =\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{\theta }}=m{r}^2\dot{\theta }$。

將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式，可以得到一個$r$的二次微分方程式，

$m\ddot{r}-\frac{{\ell }^2}{m{r}^3}+\frac{dV}{dr}=0$。

假設軌道是圓形軌道，方程式左手邊第一個項目是零，則如同期待的，連心力$-\frac{dV}{dr}$等值於離心力$-\frac{{\ell }^2}{m{r}^3}$。

對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為

$\frac{d}{dt}=\frac{\ell }{m{r}^2}\frac{d}{d\theta }$。

將這公式代入，可推導出一個跟角度有關，跟時間無關的軌道方程式：

$\frac{\ell }{r^2}\frac{d}{d\theta }\left(\frac{\ell }{m{r}^2}\frac{dr}{d\theta }\right)-\frac{{\ell }^2}{m{r}^3}=-\frac{dV}{dr}$。

設定變數$u=\frac{1}{r}$，改換方程式的變數為$u$，同時將方程式兩邊乘以$\frac{m}{{\ell }^2{u}^2}$，可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式：

$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=-\frac{m}{{\ell }^2}\frac{d}{du}V(1/u)$。

導引

如同前面所說，給予粒子適當的初始速度，任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是，假設給予粒子某徑向速度，則這些軌道可能不穩定（穩定在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道），也可能不閉合。本段落會證明，穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢（一個必要條件）。下一個段落會證明，這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道（一個充分條件）。

為了簡化標記，設定

$J(u)=-\frac{m}{{\ell }^2}\frac{d}{du}V(1/u)=-\frac{m}{{\ell }^2{u}^2}f(1/u)$；(1)

其中，$f(1/u)$是連心力函數。

則軌道方程式為

$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=J(u)$。

如果要得到半徑為$r_0\equiv \frac{1}{u_0}$的圓形運動軌道，必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零，方程式變為

$u_0=J(u_0)$。

思考對於標準圓形運動軌道的變數$u$的微擾$\eta \equiv u-u_0$，函數$J(u)$在$u_0$的泰勒級數為

$J(u)\approx u_0+\eta J^{\prime }(u_0)+\frac{1}{2}{\eta }^2{J}^{\prime \prime }(u_0)+\frac{1}{6}{\eta }^3{J}^{\prime \prime \prime }(u_0)+\dots$。

將此展開示代入軌道方程式：

$\frac{d^2\eta }{d{\theta }^2}+\eta =\eta J^{\prime }(u_0)+\frac{1}{2}{\eta }^2{J}^{\prime \prime }(u_0)+\frac{1}{6}{\eta }^3{J}^{\prime \prime \prime }(u_0)\dots$。

設定常數${\beta }^2\equiv 1-J^{\prime }(u_0)$（$\beta =0$的解答為標準圓形運動軌道）：

$\frac{d^2\eta }{d{\theta }^2}+{\beta }^2\eta =\frac{1}{2}{\eta }^2{J}^{\prime \prime }(u_0)+\frac{1}{6}{\eta }^3{J}^{\prime \prime \prime }(u_0)\dots$。(2)

取至$\eta$的1次方：

$\frac{d^2\eta }{d{\theta }^2}+{\beta }^2\eta =0$。

${\beta }^2$必須是個非負數；否則，軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為

$\eta (\theta )=h_1\cos (\beta \theta )$；

其中，振幅$h_1$是個積分常數。

假若這軌道是閉合軌道，則$\beta$必須是有理數。繼續運算，從方程式(1)，取對於$u$的導數：

$\begin{array}{cc}{J}^{\prime }(u_0)& =-\frac{m}{{\ell }^2}(-{\frac{2f(1/u)}{u^3}|}_{u_0}+{\frac{1}{u^2}\frac{df(1/u)}{du}|}_{u_0})\\ & =-{\frac{2J(u)}{u}|}_{u_o}+\frac{J(u)}{f(1/u)}{\frac{df}{du}|}_{u_0}=-2+\frac{u_0}{f(1/u_0)}{\frac{df}{du}|}_{u_0}=1-{\beta }^2\\ \end{array}$ 。

這方程式對於任意$u_0$值都必須成立，因此可以將$u_0$認定為函數${\frac{df}{du}|}_{u_0}$的參數。用符號$u$來代替$u_0$，

$\frac{df}{du}=-({\beta }^2-3)\frac{f(1/u)}{u}$。

將方程式的變數換回為$r$，

$\frac{df}{dr}=({\beta }^2-3)\frac{f}{r}$。

這意味著作用力必須遵守冪定律：

$f(r)=-\frac{k}{r^{3-{\beta }^2}}$。

代入方程式 (1) , $J$的一般形式為

$J(u)=\frac{mk}{{\ell }^2}{u}^{1-{\beta }^2}$。(3)

假設實際軌道與圓形有更大的差別（也就是說，不能忽略$J$函數的泰勒級數的更高次方項目），則可以用傅立葉級數來展開$\eta$：

$\eta (\theta )=h_0+h_1\cos (\beta \theta )+h_2\cos (2\beta \theta )+h_3\cos (3\beta \theta )+\dots$。

因為高頻率項目的係數太小，傅立葉級數只取至$3\beta$項目。方程式 (2)也只取至$\eta$的三次方。注意到$h_0$與$h_2$的數量級為$h_1^2$，超小於$h_1$；$h_3,$的數量級為$h_1^3$，超小於$h_0$與$h_2$。將上述傅立葉級數代入方程式 (2)，匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。這樣，可以得到一系列方程式：

$h_0=h_1^2\frac{J^{\prime \prime }(u_0)}{4{\beta }^2}$，(4)

$0=(2h_1{h}_0+h_1{h}_2)\frac{J^{\prime \prime }(u_0)}{2}+h_1^3\frac{J^{\prime \prime \prime }(u_0)}{8}$，(5)

$h_2=-h_1^2\frac{J^{\prime \prime }(u_0)}{12{\beta }^2}$。(6)

求$J(u)$在$u_0$對於$u$的微分：

$J^{\prime }(u_0)=(1-{\beta }^2)\frac{mk}{{\ell }^2}{u}_0^{-{\beta }^2}=1-{\beta }^2$

$J^{\prime \prime }(u_0)=(1-{\beta }^2)(-{\beta }^2)\frac{mk}{{\ell }^2}{u}_0^{-{\beta }^2-1}=-\frac{{\beta }^2(1-{\beta }^2)}{u_0}$。(7)

$J^{\prime \prime \prime }(u_0)=(1-{\beta }^2)(-{\beta }^2)(-{\beta }^2-1)\frac{mk}{{\ell }^2}{u}_0^{-{\beta }^2-2}=\frac{{\beta }^2(1-{\beta }^2)(1+{\beta }^2)}{u_0^2}$。(8)

將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6)：

$h_0=-\frac{(1-{\beta }^2)h_1^2}{4u_0}$，(9)

$h_2=\frac{(1-{\beta }^2)h_1^2}{12u_0}$。(10)

再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5)，經過一番運算，可以得到伯特蘭定理的重要結果：

${\beta }^2(1-{\beta }^2)(4-{\beta }^2)=0$。

解答$\beta =0$是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 ($\beta =1$)與徑向諧振子勢 ($\beta =2$)能夠造成穩定的，閉合的，非圓形的公轉軌道。

平方反比力（克卜勒問題）

平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為

$V(𝐫)=\frac{-k}{r}=-ku$。

處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程式寫為

$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=-\frac{m}{{\ell }^2}\frac{d}{du}V(1/u)=\frac{km}{{\ell }^2}$。

其解答為軌道函數$u(\theta )$：

$u=\frac{km}{{\ell }^2}[1+e\cos (\theta -{\theta }_0)]$；

其中，$e$是橢圓軌道的離心率，${\theta }_0$是相位差，是一個積分常數。

這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當$e=0$時，這軌道對應於圓形軌道； 當$e<1$時，這軌道是橢圓形軌道；當$e=1$時，這軌道是拋物線軌道；當$e>1$時，這軌道是雙曲線軌道。

離心率與粒子能量$E$的關係為

$e=\sqrt{1+\frac{2E{\ell }^2}{k^{2}m}}$。

所以，當$E=-\frac{k^{2}m}{2{\ell }^2}$時，這軌道是圓形軌道； 當$E<0$時，這軌道是橢圓形軌道；當$E=0$時，這軌道是拋物線軌道；當$E>0$時，這軌道是雙曲線軌道。

徑向諧振子

為了方便解析這問題，採用直角坐標$𝐫=(x,y,z)$。勢能可以寫為

$V(𝐫)=\frac{1}{2}k{r}^2=\frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$。

處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量$ℒ$是

$ℒ=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)+\frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$。

這粒子的拉格朗日方程式為

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}x=0$、

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}y=0$、

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}z=0$；

其中，${\omega }_0=k/m$是振動頻率。

常數$k$必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為

$x=A_x\cos ({\omega }_{0}t+{\varphi }_x)$、

$y=A_y\cos ({\omega }_{0}t+{\varphi }_y)$、

$z=A_z\cos ({\omega }_{0}t+{\varphi }_z)$；

其中，$A_x$、$A_y$、$A_z$分別為x、y、z方向的振幅，${\varphi }_x$、${\varphi }_y$、${\varphi }_z$分別為其相位

由於上述方程式經過整整一周期$T\equiv 2\pi /{\omega }_0$後，會重複自己，軌道解答$𝐫(t)=[x(t),y(y),z(t)]$是閉合軌道。

牛頓旋轉軌道定理

牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子$\alpha$是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式，增添的立方反比力$\mathrm{\Delta }F(r)=\frac{k}{r^3}$為

$\mathrm{\Delta }F(r)=\frac{L_1^2}{m{r}^3}(1-{\alpha }^2)$；

其中，${\ell }_1$是粒子原本的角動量，$m$是粒子的質量。

所以，${\alpha }^2=1-\frac{mk}{{\ell }_1^2}$。

由於$\alpha$是有理數，$\alpha$可以寫為分數$m/n$；其中，$m$和$n$都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成$m$圈公轉的時間等於原本完成$n$圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。

參閱

• 二體問題
• 三體問題
• 克卜勒定律
• 牛頓旋轉軌道定理

參考文獻

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