二次剩余

在数论中，特别在同余理论裏，一个整数$X$对另一个整数$p$的二次剩余（Template:Lang-en）指$X$的平方$X^2$除以$p$得到的余数。

當存在某個$X$，式子$X^2\equiv d(\mathrm{mod}p)$成立時，稱「$d$是模$p$的二次剩余」

當对任意$X$，$X^2\equiv d(\mathrm{mod}p)$不成立時，稱「$d$是模$p$的二次非剩余」

研究二次剩余的理论称为二次剩余理论。二次剩余理论在实际上有广泛的应用，包括从噪音工程学到密码学以及大数分解。

前几个自然数的二次剩余

下表列出了1至25对2至25的二次剩余。

二次剩余列表

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
n2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	441	484	529	576	625
mod 2	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
mod 3	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1
mod 4	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
mod 5	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0
mod 6	1	4	3	4	1	0	1	4	3	4	1	0	1	4	3	4	1	0	1	4	3	4	1	0	1
mod 7	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2
mod 8	1	4	1	0	1	4	1	0	1	4	1	0	1	4	1	0	1	4	1	0	1	4	1	0	1
mod 9	1	4	0	7	7	0	4	1	0	1	4	0	7	7	0	4	1	0	1	4	0	7	7	0	4
mod 10	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0	1	4	9	6	5
mod 11	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9
mod 12	1	4	9	4	1	0	1	4	9	4	1	0	1	4	9	4	1	0	1	4	9	4	1	0	1
mod 13	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1	0	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1
mod 14	1	4	9	2	11	8	7	8	11	2	9	4	1	0	1	4	9	2	11	8	7	8	11	2	9
mod 15	1	4	9	1	10	6	4	4	6	10	1	9	4	1	0	1	4	9	1	10	6	4	4	6	10
mod 16	1	4	9	0	9	4	1	0	1	4	9	0	9	4	1	0	1	4	9	0	9	4	1	0	1
mod 17	1	4	9	16	8	2	15	13	13	15	2	8	16	9	4	1	0	1	4	9	16	8	2	15	13
mod 18	1	4	9	16	7	0	13	10	9	10	13	0	7	16	9	4	1	0	1	4	9	16	7	0	13
mod 19	1	4	9	16	6	17	11	7	5	5	7	11	17	6	16	9	4	1	0	1	4	9	16	6	17
mod 20	1	4	9	16	5	16	9	4	1	0	1	4	9	16	5	16	9	4	1	0	1	4	9	16	5
mod 21	1	4	9	16	4	15	7	1	18	16	16	18	1	7	15	4	16	9	4	1	0	1	4	9	16
mod 22	1	4	9	16	3	14	5	20	15	12	11	12	15	20	5	14	3	16	9	4	1	0	1	4	9
mod 23	1	4	9	16	2	13	3	18	12	8	6	6	8	12	18	3	13	2	16	9	4	1	0	1	4
mod 24	1	4	9	16	1	12	1	16	9	4	1	0	1	4	9	16	1	12	1	16	9	4	1	0	1
mod 25	1	4	9	16	0	11	24	14	6	0	21	19	19	21	0	6	14	24	11	0	16	9	4	1	0

研究历史以及基本概念

从17世纪到18世纪，费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数论学家对二次剩余理论作了初步的研究，证明了一些定理并作出了一些相关的猜想，但首先对二次剩余进行有系统的研究的数学家是高斯。他在著作《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae，1801年）中首次引入了术语“二次剩余”与“二次非剩余”，并声明在不至于导致混淆的行文中，可以省略“二次”两字。

为了得到关于一个整数$n$的所有二次剩余（在一个完全剩余系中），我们可以直接计算0, 1,…, n − 1的平方模$n$的余数。但只要注意到a² ≡(n − a)²(mod n)，我们就可以减少一半的计算量，只算到n/2了。于是，关于$n$的二次剩余的个数不可能超过n/2 + 1（n为偶数）或(n + 1)/2（n为奇数）。

两个二次剩余的乘积必然还是二次剩余。

基本结论

质数二次剩余

对于质数2，每个整数都是它的二次剩余。

以下討論$p$是奇質數的情況：

對於$X$，$X^2\equiv d(\mathrm{mod}p)$而言，能滿足「$d$是模$p$的二次剩餘」的$d$共有$\frac{(p+1)}{2}$個（剩余类），分別為：

$0^2,1^2,...{\left(\frac{(p-1)}{2}-1\right)}^2,{\left(\frac{p-1}{2}\right)}^2$（0計算在內）

此外是$\frac{(p-1)}{2}$个二次非剩余。但在很多情况下，我们只考虑乘法群Z/pZ，因此不将0包括在内。这样，每个二次剩余的乘法逆元仍然是二次剩余；二次非剩余的乘法逆元仍然是二次非剩余。二次剩余的个数与二次非剩余的个数相等，都是$\frac{(p-1)}{2}$。此外，两个二次非剩余的乘积是二次剩余，二次剩余和二次非剩余的乘积是二次非剩余。

应用二次互反律可以知道，当$p$模4余1时，-1是$p$的二次剩余；如果$p$模4余3，那么，-1是$p$的二次非剩余。

要知道d是否為模p的二次剩餘，可以运用歐拉判別法（或叫歐拉準則）。

质数乘方的二次剩余

每个奇数的平方都模8余1，因此模4也余1。设a是一个奇数。m为8，16或2的更高次方，那么a是关于m的二次剩余当且仅当a ≡ 1(mod 8)。

比如说，在模32时，所有的奇數的平方分别是：

1² ≡ 15² ≡ 1

3² ≡ 13² ≡ 9

5² ≡ 11² ≡ 25

7² ≡ 9² ≡ 17

模8都余1。而偶数的二次剩余是：

0² ≡ 8² ≡ 16² ≡ 0

2² ≡ 6²≡ 10² ≡ 14²≡ 4

4² ≡ 12² ≡ 16

可以看出，关于8，16或2的更高次方的二次剩余是具有4^k(8n + 1)形式的所有数，其中$k$、$n$为整数。

对于奇质数$p$以及与$p$ 互质的整数$A$，$A$是关于$p$的若干次乘方的剩余当且仅当它是关于$p$的剩余。

设模的是pⁿ（n次乘方），

那么p^kA

当k ≥ n时是模pⁿ的剩余；

当k < n并为奇数时是模pⁿ的非剩余。

当k < n并为偶数时，

如果$A$是关于$p$的剩余，那么p^kA就是模pⁿ的剩余；

如果$A$是关于$p$的非剩余，那么p^kA就是模pⁿ的非剩余。

合数二次剩余

首先可以看出，

如果a是模n的剩余，并且p^k 整除n，那么a是模p^k的剩余。

如果a是模n的非剩余，那么存在p^k 整除n，使得a是模p^k的非剩余。

对于模合数的情况，两个剩余的乘积仍然是剩余，剩余和非剩余的乘积必为非剩余，但是两个非剩余的乘积则可能是剩余、非剩余或0。

比如，对于模15的情况
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14（粗斜体为二次剩余）。
两个二次非剩余2和8的乘积是二次剩余1，但另外两个二次非剩余2和7的乘积是二次非剩余14。

相关记号

高斯使用R和N来分别表示二次剩余及二次非剩余。例如：2 R 7，5 N 7，并且1 R 8，3,5,7 N 8。尽管这种记号在某些方面来说十分简洁，但现今最常用的是勒让德符号，或称二次特征（见狄利克雷特征）。对于整数a及奇质数p，

$\left(\frac{a}{p}\right)=\{\begin{array}{c}0\\ +1\\ -1\end{array}$	如果p整除a；
	如果a是模p的二次剩余且p不整除a
	如果a是模p的二次非剩余。

之所以将0另分一类有两个原因。首先，这使公式和定理叙述方便。其次，二次特征是一个从乘法群Z/pZ射到复数域的群同态，$(\frac{np}{p})=0$可以将这个同态扩张到整数构成的乘法半群。

相比高斯的记号，勒让德符号的优势在于可以写在公式里（作为一个数字值）。此外勒让德符号可以推广到三次以至高次剩餘。

勒让德符号中的分母只限奇质数，对于一般的奇合数，有推广的雅可比符号。雅可比符号的性质比前者复杂。如果a R m那么$(\frac{a}{m})=1$，如果$(\frac{a}{m})=-1$那么a N m。但如果$(\frac{a}{m})=1$，我们不能知道a R m还是a N m。

推广

二次剩餘的推廣叫做高次剩餘，是研究任意$X$，$X^n\equiv d(\mathrm{mod}p)$中$d$是否為模$p$的$n$次剩餘的問題。

相關條目

• 勒让德符号
• 同餘
• 欧拉准则
• 二次互反律
• 三次互反律

注释及参考来源

• 闵嗣鹤、严士健，《初等数论》，第二版，高等教育出版社，2001年。

外部链接

• 李宗儒，高斯二次互反律Template:Dead link