雅可比符号

在数论中，雅可比符号是勒让德符号的一种推广，首先由普鲁士数学家卡尔·雅可比在1837年引进。雅可比符号在数论中的各个分支中都有应用，尤其是在计算数论的素性检验、大数分解以及密码学中有重要作用。

定义

勒让德符号$(\frac{a}{p})$是对于所有的正整数 $a$ 和所有的素数 $p$ 定义的。

$\left(\frac{a}{p}\right)=\{\begin{array}{c}0\\ +1\\ -1\end{array}$	如果p整除a；
	如果存在整数 $X$ 使得 $X^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$ 且p不整除a
	如果不存在整数 $X$ 使得 $X^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$

.

；

.

.

当$(\frac{a}{p})=1$ 时，稱$a$ 是模$p$的二次剩餘；当$(\frac{a}{p})=-1$ 时，稱$a$ 是模$p$的二次非剩餘。

运用勒让德符号计算时要将 $a$ 分解成标准形式，计算上十分麻烦，因此产生了雅可比符号：

设 $m$ 是一个正奇数，其质因数分解式为 $m=\prod _{i=1}^s{p}_i$，并且正整数 $a$ 满足 $(m,a)=1$ 那么定义$(\frac{a}{m})=\prod _{i=1}^s(\frac{a}{p_i})$。

参见

• 克罗内克符号，将雅可比符号推广到任意自然数上。

参考来源

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外部链接

• Calculate Jacobi symbol gives a display like the ones in the examples.