E的π次方

Template:Lowercase {{#invoke:TemplateVariadicArgumentSingle|build_template |_core_template=Template:Infobox number/core |_core_args=lang |_core_insert_code= | lang$ = {{{lang$|}}} | lang$ symbol = {{{lang$ symbol|}}} }} $e^{\pi }$又稱格爾豐德常數（Template:Lang-en）是一个数学常数。与e和π一样，它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明，并注意到：

$e^{\pi }=(e^{i\pi }{)}^{-i}=(-1{)}^{-i}$

其中Template:Math是虚数单位。由于[[-i|Template:Math]]是代数数，但肯定不是有理数，因此Template:Math是超越数。这个常数在希尔伯特第七问题中曾提到过。一个相关的常数是$2^{\sqrt{2}}$，又称为格尔丰德-施奈德常数。相关的值$\pi +e^{\pi }$也是无理数。

数值

在十进制中，Template:Math大约为

Template:計算結果

它的值可以用以下迭代来求出。定义

$k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}}$

其中$k_0=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

则

${\left(\frac{4}{k_N}\right)}^{2^{1-N}}$

迅速收敛于$e^{\pi }$。

几何中的独特之处

n维球体的体积由以下公式给出：

$V_n=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}{R}^n}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}.$

所以，任何一个偶数维的单位球具有体积：

$V_{2n}=\frac{{\pi }^n}{n!}.$

把所有偶数维的单位球的体积加起来，得出：

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{V}_{2n}=e^{\pi }.$

相似或相關的常數

拉馬努金常數

$e^{\pi \sqrt{163}}=(\text{格 爾 豐 德 常 數 }{)}^{\sqrt{163}}$

即所謂的拉馬努金常數，是黑格纳数的一個應用，其中 的 163 是問題中用到的黑格納數。

同 Template:Math 一樣，Template:Math 非常接近整數：

$e^{\pi \sqrt{163}}=$ Template:Val... $\approx 640320^3+744$

雖然這個數是由法國數學家夏爾·埃爾米特在 1859 年所發現，但印度數學家斯里尼瓦瑟·拉马努金第一個預測它非常接近整數，因而以他為名。

這種非常近似於 Template:Math 的巧合，可以用 Template:Le的Template:Le及q展開來表示。

$j((1+\sqrt{-163})/2)=(-640320{)}^3$

且

$(-640320{)}^3=-e^{\pi \sqrt{163}}+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right)$

而 Template:Math 是誤差項。

$O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right)=-196884/e^{\pi \sqrt{163}}\approx -196884/(640320^3+744)\approx -0.00000000000075$

這解釋了為何 Template:Math 比 Template:Math 小了 0.000 000 000 000 75 。（這個證明的細節，可以參考黑格纳数）。

數 Template:Math

由 A018938 所給出 Template:Math 的十進位表示為

$e^{\pi }-\pi =$ Template:Val...

儘管這個數非常接近正整數 20 ，但目前沒有關於這個現象的解釋；因此，被認為是一種数学巧合。

數 Template:Math

由 A059850 給出的 Template:Math 十進位表示為：

${\pi }^e=$ Template:Val...

目前還不知此數是否是超越數。

須注意的是，根據 格尔丰德-施奈德定理，只有在 Template:Mvar 是代數數，而 Template:Mvar 是非有理數（Template:Mvar，Template:Mvar 都是复数，且 Template:Math, Template:Math）的情況下，Template:Math 才為超越數。

之所以可以證明 Template:Math 是超越數，其原因在於複數的指數形式，因為 Template:Pi 可以被視為複數 Template:Math 的模，而根據 Template:Math 的等式，才可以使用 格尔丰德-施奈德定理 。

Template:Math 則沒有如此的等式，所以，儘管 Template:Pi 和 Template:Mvar 都是超越數，但我們不能由此說 Template:Math 是超越數。

數 Template:Math

如同 Template:Math，我們仍不知 Template:Math 是否是超越性質的。甚至，目前還沒有證明說它是無理數：

由 A059850 給出的 Template:Math 十進位表示為：

$e^{\pi }-{\pi }^e=$ Template:Val...

數 Template:Math

$i^i=(e^{i\pi /2}{)}^i=e^{-\pi /2}=(e^{\pi }{)}^{-1/2}$

由Template:Oeis給出的 Template:Mvar 十進位表示為：

$i^i=$ Template:Val...

因為上述等式，可用格尔丰德-施奈德定理證明格爾豐德常數的平方根倒數也是超越的：

Template:Mvar 是代數數，但同時不是有理數，由此Template:Math 是超越數。

参见

• 格爾豐德-施奈德常數
• 格尔丰德-施奈德定理
• 希尔伯特第七问题

外部链接

• MathWorldTemplate:Wayback