格爾豐德-施奈德常數

{{#invoke:TemplateVariadicArgumentSingle|build_template |_core_template=Template:Infobox number/core |_core_args=lang |_core_insert_code= | lang$ = {{{lang$|}}} | lang$ symbol = {{{lang$ symbol|}}} }} 格爾豐德-施奈德常數即為2的$\sqrt{2}$次方，其值为：

$2^{\sqrt{2}}=2.6651441...$

羅季翁·庫兹明在1930年證明此數字是超越数。 1934年蘇聯數學家亞歷山大·格爾豐德和德國數學家西奧多·施耐德分別獨立證明了更一般的格尔丰德-施奈德定理，因此证明格爾豐德-施奈德常數為超越数，也回答了希爾伯特第七問題。

它的平方根

$\sqrt{2^{\sqrt{2}}}={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}=1.6325269...$

也是一个超越数。在無理數的無理數次方為有理數這個命題中，它可用來提供一個經典、簡捷的證明。

無理數的無理數次方為有理數

儘管已知 ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ 是超越數，自然也就會是無理數。但在不知道它是無理數的情況下，仍可以證明此事。

命題：存在 a, b 是無理數，使得 $a^b$為有理數。

證明：

已知$\sqrt{2}$是無理數，考慮 ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$，它有可能是有理數，也可能是無理數。

• 若 ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ 是有理數，即得證。
• 若 ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ 是無理數，則

${\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}=(\sqrt{2}{)}^{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=(\sqrt{2}{)}^2=2.$

為有理數，得證。

希尔伯特第七问题

Template:Main 希尔伯特的第七个问题是要证明（或找出反例），如果a是一个不等于0或1的代数数，b是一个无理代数数，则a^b总是超越数。他给出了两个例子，其中一个就是$2^{\sqrt{2}}$。

1919年，他发表了一个关于数论的演讲，谈到了三个猜想：黎曼猜想、费马大定理和$2^{\sqrt{2}}$的超越性。他对观众说，在你们还活着的时候肯定没人证明这三个猜想。但这个数的超越性在1934年得出证明，当时希尔伯特还活着。

参见

• e的π次方
• 希尔伯特数