麥卡托投影法

麥卡托世界地图（1569年）

以麥卡托投影法呈現的世界地圖。

麥卡托投影法（Template:Lang-en），又稱-{zh-cn:麦卡托; zh-tw:墨卡托}-投影法、正軸等角圓柱投影，是一種等角的圓柱形地圖投影法。

本投影法得名於法蘭德斯(佛蘭德)出身的地理學家傑拉杜斯·麥卡托，他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。在以此投影法繪製的地圖上，將地球在平面展開，經緯線於任何位置皆垂直相交，使世界地圖可以繪製在一個長方形，地圖的任一點在各種方向的長度均相等。由於可顯示任兩點間的正確方位，指出真實的經緯度，航海用途的海圖、航路圖大都以此方式繪製。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变，從而可以保持大陆轮廓投影-{zh-hans:后;zh-hant:後}-的角度和形状不变（即等角）；但麥卡托投影会使面积产生变形，赤道地區變化最小，南北兩極的變形最大，但因為在南北迴歸線之間影響很少，而這是多數航線所在區域，所以被廣泛用來編製地圖。

数学计算

地图上纵向方位（图中的横轴）和纬度（图中的纵轴）的关系。

下列公式在使用墨卡托投影的地图中，从纬度φ和经度λ（其中λ₀是本初子午線）推导为坐标系中的坐标x和y。

这是古德曼函数的逆推导：

$\begin{array}{cc}x& =\lambda -{\lambda }_0\\ y& =\ln (\tan (\frac{\pi }{4}+\frac{\phi }{2}))\\ & =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\sin (\phi )}{1-\sin (\phi )}\right)\\ & ={\tanh }^{-1}(\sin (\phi ))\\ & ={\sinh }^{-1}(\tan (\phi ))\\ & =\ln (\tan (\phi )+\sec (\phi )).\end{array}$

这是古德曼函数：

$\begin{array}{cc}\phi & =2{\tan }^{-1}(e^y)-\frac{\pi }{2}\\ & ={\tan }^{-1}(\sinh (y))\\ \lambda & =x+{\lambda }_0.\end{array}$

比例尺与纬度φ的正割成比例，越趋向极地（φ = ±90°）面积变形越大。此外，由公式可知，极点处的y值为正负无穷大。

公式推导

麥卡托投影是一种等角投影。

假设地球为正球形。（实际上并非为正球形，而是有扁率的，但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确，可插入等角纬线。）我们需要将经纬度坐标（λ, φ）转换为笛卡尔坐标(x, y)，求以赤道为基准的切柱面投影（即x = λ），并保持形状不变，故：

$\frac{\partial x}{\partial \lambda }=\cos (\phi )\frac{\partial y}{\partial \phi }$

$\frac{\partial y}{\partial \lambda }=-\cos (\phi )\frac{\partial x}{\partial \phi }$

从 x = λ 可知

$\frac{\partial x}{\partial \lambda }=1$

$\frac{\partial x}{\partial \phi }=0$

给出

$1=\cos (\phi )\frac{\partial y}{\partial \phi }$

$0=\frac{\partial y}{\partial \lambda }$

因此，y是φ的唯一函数，且可得到$y^{\prime }=\sec \phi$，由积分表

$y=\ln (|\sec (\phi )+\tan (\phi )|)+C.$

在地图中φ = 0得到y = 0，所以取C = 0.

以麥卡托投影法繪製的地圖。

錯覺

由於麥卡托投影在高緯度過分放大，低緯度又過分縮小，因此會產生有趣的錯覺。比如世界第一大島高緯度的格陵蘭比澳洲看起來還大好幾倍。世界第二大島低緯度的新幾內亞和日本差不多大小。然而新幾內亞島面積足足是日本的2倍。

以下是實際面積（單位：平方公里）

• 澳洲：7,692,024平方公里
• 格陵蘭：2,166,086平方公里
• 日本：378,000平方公里
• 新幾內亞島：786,000平方公里

参见

• 地图学
• 地图投影
• Template:En-link
• 海图
• 罗宾森投影
• 横轴墨卡托投影
• 通用横轴墨卡托投影（UTM）
• 高爾-彼得斯投影
• 南上北下地圖
• Template:En-link
• Web墨卡托投影

參考資料

• Template:Cite book可至USGS pages下载。
• Template:Cite book
• Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd.
• Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.

• A Look at the Mercator Projection -{R|https://www.gislounge.com/look-mercator-projection/}-Template:Wayback