三角级数

在数学中，三角级数是任何具有下述形式的级数：

$\frac{1}{2}{A}_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\cos nx+B_n\sin nx).$

当$A_n$和$B_n$具有以下形式时，该级数称为傅立叶级数：

$A_n=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots )$

$B_n=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$

其中$f$是可积函数。

并不是所有三角级数都是傅立叶级数。一个有趣的问题是给定一个三角级数，当x取什么值时级数收敛。

康托尔三角级数唯一定理

格奥尔格·康托尔在1870年证明了这一定理。如果三角级数的和函数是零，那么，该三角级数的各项系数均为零。因此，如果两个三角级数的和函数相等，那么它们的各项系数也相等。

文献

• A. Zygmund,1935, "Trigonmetric Series"