高斯常數

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高斯常數符號為G，是1和根號2之算术-几何平均数的倒數：

$G=\frac{1}{\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(1,\sqrt{2})}=0.8346268\dots .$

此數學常數得名自卡爾·弗里德里希·高斯，他在1799年5月30日發現

$G=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$

因此

$G=\frac{1}{2\pi }B(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$

其中B為貝塔函數。

和其他常數的關係

高斯常數常用來表示$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})$的數值。

$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})=\sqrt{2G\sqrt{2{\pi }^3}}$

換句話說

$G=\frac{[\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}){]}^2}{2\sqrt{2{\pi }^3}}$

因為$\pi$和$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})$互相代數獨立，且$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})$為無理數，因此高斯常數為超越數。

Lemniscate常數

高斯常數常用來定義lemniscate常數，第一lemniscate常數為：

$L_1=\pi G$

第二lemniscate常數為：

$L_2=\frac{1}{2G}$

在計算伯努利雙紐線的弧长時會出現這些常數。

其他公式

以下是一個用Θ函數定義高斯常數的公式

$G={\vartheta }_{01}^2(e^{-\pi })$

也可以用以下快速收斂的級數表示

$G=\sqrt[4]{32}{e}^{-\frac{\pi }{3}}{(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{-2n\pi (3n+1)})}^2.$

高斯常數也可以用無窮乘積表示：

$G=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\tanh }^2\left(\frac{\pi m}{2}\right).$

在以下的定積分中也有高斯常數

$\frac{1}{G}=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{\sin (x)}dx=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{\cos (x)}dx$

$G=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{\cosh (\pi x)}}$

高斯常數的连分数為[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. Template:OEIS

相關條目

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參考資料

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• Sequences A014549 and A053002 in OEIS