音乐同构

在数学中，特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裡，音乐同构（Template:Lang 或典范同构 Template:Lang）是指（伪）黎曼流形 M 的切丛 TM 与余切丛 $T^{*}M$ 之间的同构，这个同构由黎曼度量给出。不過一般地，只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式（比如辛流形上的辛形式）便可定义这样的同构。在帶有內積（或更一般的，非退化的雙線性形式）的有限維向量空間 $V$，這些同構自然給出了 $V$ 和其對偶空間 $V^{*}$ 之間的同構，在這種情況一般稱這些映射為典範同構（canonical isomorphosm）。

這些運算在流形上的張量場理論裡也称为指标的上升和下降。

正式定义

黎曼流形 M 的黎曼度量 $g=\sum _{ij}{g}_{ij}d{x}^i\otimes d{x}^j$ 是一个二階的对称、正定张量场 $g\in {𝒯}_2^0(M)$。在任意一点 x∈M，黎曼度量會誘導出一個映射 ${\hat{g}}_x$

${\hat{g}}_x:T_{x}M⟶T_x^{*}M$

這映射給了點 $x$的切空間跟餘切空间之间的一个线性同构，对任何切向量 X_x 属于 T_xM，定義

${\hat{g}}_x(X_x)=⟨X_x,\cdot ⟩\in T_x^{*}M,$

其中符號 $⟨,⟩$ 代表 流形上的黎曼度量。这意味着，

${\hat{g}}_x(X_x)(Y_x)=⟨X_x,Y_x⟩.$

这些线性映射的集合定义了一个丛同构

$\hat{g}:TM⟶T^{*}M,$

这是一个特别的微分同胚，在每个切空间上為線性映射。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标 $(U,x)$下，设度量矩阵为 $(g_{ij})$，逆矩阵为 $(g^{ij})$，向量場$X={\alpha }^i\frac{\partial }{\partial x^i}$　。则这个同构會將$X$映射到

$\hat{g}:{\alpha }^i\frac{\partial }{\partial x^i}\mapsto {\alpha }^i{g}_{ij}d{x}^j.$

这里使用了爱因斯坦求和约定。

以上同构称为降号音乐同构（Template:Lang）用符號${\mathrm{♭}}^{}$表示，例如以上的函數$\hat{g}$可表示成：$(\sum _i{\alpha }^i\frac{\partial }{\partial x^i}{)}^{\mathrm{♭}}=\sum _{ij}{\alpha }^i{g}_{ij}d{x}^j$；而其逆運算称为升号（Template:Lang）用符號${\mathrm{♯}}^{}$表示：降号下降指标，升号上升指标，Template:Harv。升号用局部坐标表示为：

${\hat{g}}^{-1}:\xi ={\alpha }_{i}d{x}^i\mapsto {\alpha }_i{g}^{ij}\frac{\partial }{\partial x^j}.$

这两个同构的核心是 g 为处处非退化的双线性形式，任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构，对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中，这个同构非常重要，哈密顿向量场便是由这个同构导出的。

名称由来

同构 $\hat{g}$ 与其逆 ${\hat{g}}^{-1}$ 称为“音乐同构”是因为是因为常常用兩種音樂符號 $\mathrm{♭},\mathrm{♯}$來代替這些同構，比如 $\hat{g}(X)$ 會寫成 $X^{\mathrm{♭}}$，${\hat{g}}^{-1}(\omega )$ 會寫成 ${\omega }^{\mathrm{♯}}$，它们將指标向下、向上移动。例如，流形上的向量場 $X=\sum _i{X}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$ 經過 $\mathrm{♭}$ 映射會變成餘向量場：

$(\sum _i{X}^i\frac{\partial }{\partial x^i}{)}^{\mathrm{♭}}=\sum _{ij}{g}_{ij}{X}^{i}d{x}^j:=\sum _j{X}_{j}d{x}^j,$

這裡$\mathrm{♭}$將$\sum _i{X}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$映射到$\sum _j{X}_{j}d{x}^j$，係數的指標從上到下，所以這運算用降號符號$\mathrm{♭}$表示。

而餘向量 $\omega =\sum _i{\omega }_{i}d{x}^i$，經過 $\mathrm{♯}$ 運算會變成向量

$(\sum _i{\omega }_{i}d{x}^i{)}^{\mathrm{♯}}=\sum _{ij}{g}^{ij}{\omega }_i\frac{\partial }{\partial x^j},$

所以指标向下、向上移动好似符号降号（$\mathrm{♭}$）与升号（$\mathrm{♯}$）下降与上升一个半音的音高Template:Harv。

梯度、散度与旋度

音乐同构可以用来定义 ${ℝ}^3$ 上无坐标形式的梯度、散度与旋度：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }f& ={\left(𝐝f\right)}^{\mathrm{♯}}\\ \mathrm{\nabla }\cdot F& =\star 𝐝\star (F^{\mathrm{♭}})\\ \mathrm{\nabla }\times F& ={[\star 𝐝(F^{\mathrm{♭}})]}^{\mathrm{♯}}\end{array}$

这里 $f,F$ 分別是 ${ℝ}^3$ 裡的函數跟向量場，$\star$ 是霍奇星号算子Template:Harv。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上，第一个等式便定义了以 f 为哈密顿量的哈密顿向量场。

此外，值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积与外积联系起来，设 v 与 w 是 ${ℝ}^3$ 中向量场，容易证明

$𝐯\times 𝐰={[\star ({𝐯}^{\mathrm{♭}}\wedge {𝐰}^{\mathrm{♭}})]}^{\mathrm{♯}}.$

参考文献

• Template:Citation.
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