局部域

Template:NoteTA 在數學上，局部域是一類特別的域，它有非平凡的絕對值，此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱作阿基米德局部域），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱作非阿基米德局部域）。在數論中，數域的完備化給出局部域的典型例子。

非阿基米德局部域

設$F$為非阿基米德局部域，而$|\cdot |$為其絕對值。關鍵在下述對象：

• 閉單位球：$\{a\in F:|a|\le 1\}$，或其整數環$𝒪$，這是個緊集。
• 整數環裡的單位元素：${𝒪}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}$
• 開單位球：$\{a\in F:|a|<1\}$，這同時是其整數環裡唯一的極大理想，也記作$𝔪$。

上述對象與賦值環的構造相呼應；事實上，可證明必存在實數$0<c<1$及離散賦值$v:F^{\times }\to \mathbb{Z}$，使得

$\mathrm{\forall }a\in F{c}^{v(a)}=|a|$.

可取唯一的$c$使得$v$為滿射，稱之為正規化賦值。

從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義：一個域$F$，帶離散賦值$v:F^{\times }\to \mathbb{Z}$，使得$F$成為完備的拓撲域，而且剩餘域有限。

這類局部域的行為可由局部類域論描述。

分類

局部域的完整分類如次：

• $ℝ,ℂ$。這些是阿基米德局部域。
• p進數域${\mathbb{Q}}_p$的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部域。
• ${𝔽}_q((T))$的有限擴張（其中${𝔽}_q$表有q個元素的有限域）。這些是特徵非零的非阿基米德局部域。

文獻

• Milne, James, Algebraic Number Theory.
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